三角多項式

数学の一分野である数値解析および解析学における三角多項式（さんかくたこうしき、）は、一つ以上の自然数  に対する函数  の有限線型結合である。実数値函数に対しては、結合の係数は実数に取ることができる。複素係数の場合には、三角多項式とはフーリエ多項式（有限フーリエ級数）の事に他ならない。

三角多項式は、例えば周期函数の補間に適用できるに利用されるなど、広く用いられる。離散フーリエ変換にも用いられる。

「三角多項式」という名称は、実数値の場合には「多項式の空間に対するの代わりに  を用いたもの」というアナロジーによって理解することができる。複素係数の場合には、三角多項式全体の成す空間は  の正負の整数冪によって張られる。

 厳密な定義 
 に対して、複素数の定数  を用いて

の形に表される任意の函数  を、次数 (degree)  の複素三角多項式 (complex trigonometric polynomial) と総称する 。オイラーの公式を用いれば、このような多項式を

の形に書くことができる。同様に、 は実数で  または  であるものとして、

を次数  の実三角多項式 (real trigonometric polynomial) と言う 。

 性質 
三角多項式は、実数直線上で定義され  の適当な倍数の周期を持つ周期函数と考えることもできるし、あるいは単位円上で定義された函数と考えることもできる。

基本的な結果として「三角多項式全体の成す集合は、単位円上定義された連続函数全体の成す空間において、一様ノルムに関して稠密である」こと  が挙げられる（これはストーン–ヴァイアシュトラスの定理の特別の場合である）。より具体的に書けば、「任意の連続函数  および実数  に対して、適当な三角多項式  が存在して全ての  に対して  とすることができる」。フェイェールの定理の述べるところによれば「 のフーリエ級数の部分和の算術平均は  に一様に収束する」から、これに基づいて  の近似三角多項式  を求める具体的な方法が得られる。

次数  の三角多項式は、それが零函数でない限りにおいて、 ( の形の任意の開区間に  個の根の最大値を持つ 。

 参考文献 

 .

Category:近似理論
Category:フーリエ解析
Category:多項式
Category:三角法
Category:数学に関する記事