メガ素数

メガ素数（）は、100万桁以上の素数である。


、2899 個のメガ素数と 146 個の確率的メガ素数が知られている。最初に発見されたメガ素数は、メルセンヌ素数の26972593−1（2,098,960桁）で、1999年6月1日にNayan Hajratwalaが分散コンピューティング・プロジェクト、GIMPSを使用した物であったGIMPS press release, GIMPS Finds First Million-Digit Prime。2008年1月4日取得。Chris Caldwell, The Largest Known Prime by Year: A Brief History at The Prime Pages。2008年9月28日取得。。

10進数で1,000桁以上の素数はタイタニック素数と呼ばれ、10,000桁以上の素数は巨大素数と呼ばれる。

 種類別のリスト 
以下では、メガ素数または確率的メガ素数を、素数の種類別に一覧で示す。ここで、「Prime/PRP」欄は、素数であると証明されたものを "Prime"、底ごとのフェルマーテストなど、いくつかのテストをクリアした確率的素数を "PRP" で表している。
 メルセンヌ素数 
2024年11月現在で52個のメルセンヌ素数が知られており、そのうち38番目以降の15個がメガ素数である。ほとんどの期間で、知られている最大の素数はメルセンヌ素数 (のいずれか) であった。これは、知られている大きな数の素数判定が  あるいは  の素因数分解に基づいており、メルセンヌ数の場合は  の素因数分解がほとんど自明であったためである。
発見された数Prime/PRP発見された日付桁数出典2136279841－1Prime2024年10月12日41,024,320282589933－1Prime2018年12月7日24,862,048277232917－1Prime2017年12月26日23,249,425274207281－1Prime2016年1月7日22,338,618257885161－1Prime2013年1月25日17,425,170243112609－1Prime2008年8月23日12,978,189242643801－1Prime2009年1月4日12,837,064237156667－1Prime2008年9月6日11,185,272232582657－1Prime2006年9月4日9,808,358230402457－1Prime2005年12月15日9,152,052225964951－1Prime2005年2月18日7,816,230224036583－1Prime2004年5月15日7,235,733220996011－1Prime2003年11月17日6,320,430213466917－1Prime2001年11月14日4,053,94626972593－1Prime1999年1月1日2,098,960

 プロス数 
正の奇数  と  を満たす  に対して、 で表される数をプロス数 () と言う。

プロス素数の探索プロジェクトとしてProth Prime Searchがある。また、探索プロジェクトを持つようなプロス数のクラスには次のようなものがある：

 第2種サービト数...  (321 Prime Search)
 カレン数 ...  (Cullen/Woodall prime search)
 シェルピンスキー問題 ... 最小のシェルピンスキー数は78557か？ (Seventeen or Bust)
 Prime Sierpiński problem ... 最小の素数であるシェルピンスキー数は271129か？ (Prime Sierpinski Problem)
 拡張シェルピンスキー問題 ... 2番目に小さいシェルピンスキー数は271129か？ (Extended Sierpinski Problem)
 フェルマー数 ...  (Distributed Search for Fermat Number Divisors)
 フェルマー数  の素因数は  と表されるため、 が十分に小さいならばプロス数である。

発見された数Prime/PRP発見/報告された日付桁数出典備考10223·231172165+1Prime2016年10月31日9,383,761202705·221320516+1Prime2021年11月25日6,418,12181·220498148+1Prime2023年6月13日6,170,5607·220267500+1Prime2022年7月21日6,101,127168451·219375200+1Prime2017年9月17日5,832,5227·218233956+1Prime2020年10月1日5,488,969 の素因数13·216828072+1Prime2023年10月11日5,065,7563·216408818+1Prime2020年10月25日4,939,547第2種サービト数99739·214019102+1Prime2019年12月24日4,220,17619249·213018586+1Prime2007年3月26日3,918,990193997·211452891+1Prime2018年4月3日3,447,6703·210829346+1Prime2014年1月14日3,259,959第2種サービト数121·29584444+1Prime2020年11月18日2,885,20827653 · 29167433+1Prime2005年6月8日2,759,67727·28342438+1Prime2021年2月1日2,511,32627·27963247+1Prime2021年1月14日2,397,178 の素因数28433 · 27830457+1Prime2004年12月30日2,357,207161041·27107964+1Prime2015年1月6日2,139,71627·27046834+1Prime2018年10月11日2,121,3103·27033641+1Prime2011年2月21日2,117,338第2種サービト数6679881·26679881+1Prime2009年7月25日2,010,852カレン数1582137·26328550+1Prime2009年4月20日1,905,090カレン数13·25523860+1Prime2020年1月22日1,662,849 の素因数27·25213635+1Prime2015年3月9日1,569,4623·25082306+1Prime2009年4月3日1,529,928第2種サービト数121·24553899+1Prime2012年2月25日1,370,863193·23329782+1Prime2014年7月25日1,002,367 の素因数

 サービト数 

自然数  に対して  の形で表される数を、イスラムの数学者サービト・イブン・クッラの名前を冠してサービト数と言う。サービト数および第2種サービト数 (上述) である素数を探索するプロジェクトとして、321 Prime Searchが存在する。

発見された数Prime/PRP発見された日付桁数出典3·223157875－1Prime2025年6月25日6,971,2163·222103376－1Prime2024年9月30日6,653,7803·220928756－1Prime2023年7月5日6,300,1843·218924988－1Prime2022年3月24日5,696,9903·218196595－1Prime2022年1月8日5,477,7223·217748034－1Prime2021年9月6日5,342,6923·216819291－1Prime2021年1月20日5,063,1123·211895718－1Prime2015年6月23日3,580,9693·211731850－1Prime2015年3月13日3,531,6403·211484018－1Prime2014年11月22日3,457,035

 一般化フェルマー数 

3以上の整数  に対して、 で表される数を、 を底とする一般化フェルマー数と言う。

PrimeGridのGeneralized Fermat Prime Searchは、一般化フェルマー数のうち  の範囲において素数を探索するプロジェクトである。2025年10月現在、Generalized Fermat Prime Searchは1800個の一般化フェルマー素数であるメガ素数を発見している。
+知られている一般化フェルマー素数 (抜粋)発見された数Prime/PRP発見/報告された日付桁数出典25241902097152+1Prime2025年10月12日13,426,22438432361048576+1Prime2024年12月17日6,904,55619637361048576+1Prime2022年9月24日6,598,77619517341048576+1Prime2022年8月9日6,595,98510590941048576+1Prime2018年10月31日6,317,6029194441048576+1Prime2017年8月29日6,253,2104896418524288+1Prime2022年5月18日3,507,4243638450524288+1Prime2020年5月29日3,439,8109·211366286+1Prime2020年3月26日3,421,5943214654524288+1Prime2019年12月24日3,411,6132985036524288+1Prime2019年9月18日3,394,7392877652524288+1Prime2019年1月29日3,386,3972788032524288+1Prime2019年4月17日3,379,1932733014524288+1Prime2019年3月18日3,374,6552312092524288+1Prime2018年8月4日3,336,5722061748524288+1Prime2018年3月20日3,310,4781880370524288+1Prime2018年1月15日3,289,511

+知られている一般化フェルマー数の素因数 (抜粋)発見された数Prime/PRP発見/報告された日付桁数出典備考3·216408818+1Prime2020年10月25日4,939,547第2種サービト数9·213334487+1Prime2020年3月21日4,014,0829·212406887+1Prime2020年3月29日3,734,8479·211500843+1Prime2020年3月13日3,462,1009·211158963+1Prime2020年3月13日3,359,1843·210829346+1Prime2014年1月14日3,259,959第2種サービト数11·29381365+1Prime2020年3月7日2,824,07417·28636199+1Prime2021年2月17日2,599,75725·28456828+1Prime2021年1月27日2,545,761一般化フェルマー数

 一般化カレン数 
整数  と  を満たす  について、 の形で表される数を一般化カレン数という。
発見された数Prime/PRP発見/報告された日付桁数出典4052186·694052186+1Prime2025年4月16日7,451,3662525532·732525532+1Prime2021年8月28日4,705,888404849·213764867+1Prime2021年3月10日4,143,6442805222·55610444+1Prime2019年9月2日3,921,5391806676·411806676+1Prime2018年3月11日2,913,7851323365·1161323365+1Prime2018年1月18日2,732,0381341174·531341174+1Prime2017年8月21日2,312,561682156·79682156+1Prime2016年10月8日1,294,484298989·23886857+1Prime2014年12月31日1,170,067

 (一般化)ウッダル数 

自然数  に対して  の形で表される数をウッダル数という。一般化カレン数と同様に、整数  と  を満たす  について、 の形で表される数を一般化ウッダル数という。
発見された数Prime/PRP発見/報告された日付桁数出典8508301·217016603－1Prime2018年3月22日5,122,515396101·214259638－1Prime2024年2月3日4,292,5852740879·213704395－1Prime2019年10月26日4,125,441479216·38625889－1Prime2019年11月16日4,115,601874208·541748416－1Prime2019年9月26日3,028,951101806·151527091－1Prime2023年4月14日1,796,004499238·101497714－1Prime2019年9月16日1,497,720583854·141167708－1Prime2019年9月17日1,338,3491993191·23986382－1Prime2015年5月1日1,200,027938237·23752950－1Prime2007年12月26日1,129,757

 ワグスタッフ素数 

素数  に対して、の形で表される素数をワグスタッフ素数という。2024年11月現在で、ワグスタッフ素数の形である確率的素数は14個報告されており、うち4つが100万桁以上の確率的メガ素数である。
発見された数Prime/PRP報告された日付桁数出典(215135397+1)/3PRP2021年6月28日4,556,209(213372531+1)/3PRP2013年9月8日4,025,533(213347311+1)/3PRP2013年9月8日4,017,941(24031399+1)/3PRP2010年2月20日1,213,572

 (一般化)unique素数 
2および5でない素数  について、 の逆数の循環節の長さが他のものと一致しないとき、 を  (あるいは , 英語版) という。例えば3, 11, 37, 101がそのような素数の例である。また、一般の基数  に対して、同様の条件を満たす素数  を  という。

より明示的な定義は、円分多項式  に対してが素数の冪で表されるとき、その素因数は基数  の generalized unique prime であるという。
発見された数Prime/PRP報告された日付桁数出典Prime2023年10月2日11,981,518Prime2023年5月31日11,887,192Prime2017年2月23日5,338,805215317227+27658614+1Prime2020年7月31日4,610,945Prime2017年1月30日4,055,114Prime2017年1月17日3,107,335Prime2017年1月14日3,068,389Prime2017年1月11日2,259,865Prime2017年1月6日2,114,016

 その他 

発見された数Prime/PRP報告された日付桁数出典備考R8177207PRP2021年4月20日8,177,207レピュニット69·219374980－1Prime2022年7月3日5,832,452R5794777PRP2021年4月20日5,794,777レピュニット69·218831865－1Prime2021年12月26日5,668,9593622·57558139－1Prime2022年2月18日5,282,9177·66772401+1Prime2019年9月9日5,269,95469·215866556－1Prime2021年8月20日4,776,3126·56546983－1Prime2020年6月13日4,576,14669·214977631－1Prime2021年12月3日4,508,719192971·214773948－1Prime2021年3月7日4,447,27269·213832885－1Prime2022年1月7日4,164,116213380298－27PRP2021年3月2日4,027,8729221·211392194－1Prime2021年2月7日3,429,397146561·211280802－1Prime2020年11月16日3,395,865(210443557－1)PRP2020年7月9日3,143,811 の約数273809·28932416－1Prime2017年12月13日2,688,931(27313983－1)PRP2018年3月1日2,201,714 の約数422429!+1Prime2022年2月21日2,193,027階乗素数502573·27181987－1Prime2014年10月4日2,162,000402539·27173024－1Prime2014年10月2日2,159,301(27080247－1)PRP2017年10月27日2,131,318 の約数40597·26808509－1Prime2013年12月25日2,049,571101888529－10944264－1Prime2021年10月18日1,888,529回文素数(25240707－1)PRP2017年10月29日1,577,600 の約数308084!+1Prime2022年1月20日1,557,176階乗素数(24834891－1)PRP2017年9月20日1,455,425 の約数288465!+1Prime2022年1月10日1,449,771階乗素数F6530879PRP2022年8月1,364,873フィボナッチ数(24187251－1)PRP2017年10月31日1,260,475 の約数101234567－20342924302·10617278－1Prime2021年9月15日1,234,567回文素数101234567－3626840486263·10617277－1Prime2021年9月29日1,234,567回文素数101234567－4708229228074·10617277－1Prime2021年9月29日1,234,567回文素数L5466311PRP2022年8月1,142,392リュカ数(23464473－1)PRP2017年10月31日1,042,896 の約数208003!－1Prime2016年7月25日1,015,843階乗素数L4819961PRP2022年7月1,007,313リュカ数10999999+593499PRP2013年1月1,000,000最小の確率的メガ素数

 注釈 

 関連項目 
 完全数
 巨大な素数の一覧
 素数が無数に存在することの証明

 外部リンク 

 The Top Twenty - 発見された素数の、種類別の上位20のリストと解説記事
 Henri & Renaud Lifchitz's PRP Top Records - 確率的素数の報告およびランキング

 出典 

 GIMPS 

 PrimeGrid 

 PrimePage Primes 

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