線型代数学の基本定理

数学の分野における線型代数学の基本定理（せんけいだいすうがくのきほんていり、）とは、ベクトル空間に関するいくつかの定理である。それらの定理においては、ある m×n 行列 A の階数 r や、その特異値分解

に関する内容が、具体的にまとめられている。はじめに、各行列 （行列  は  個の行と  個の列を持つ）は、「四つの基本部分空間」を導く。それらを次の表に示す：

部分空間の名前定義含まれる空間次元基底列空間、値域あるいは像 あるいは （階数） の初めの  列零空間あるいは核 あるいは （退化次数） の最後の  列行空間あるいは余像 あるいは （階数） の初めの  列左零空間あるいは余核 あるいは （余階数） の最後の  列

続いて、次が成立する：

  において、 である。すなわち零空間は、行空間の直交補空間である。
  において、 である。すなわち左零空間は、列空間の直交補空間である。

各部分空間の次元は階数・退化次数の定理によって関連付けられており、上表の定理に従う。

また、これら全ての空間は、基底の選び方に依らず、本質的に定義される。そのような場合この定理は、抽象的ベクトル空間や作用素および双対空間として、 および  を用いて次のように言い直すことが出来る： の核および像は、 の余核および余像に、それぞれ等しい。

 関連項目 
 階数・退化次数の定理
 閉値域の定理

 参考文献 
 Strang, Gilbert. Linear Algebra and Its Applications. 3rd ed. Orlando: Saunders, 1988.

 外部リンク 
, MIT Linear Algebra Lecture on the Four Fundamental Subspaces at Google Video, from MIT OpenCourseWare

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