セルバーグ積分

数学において、セルバーグ積分（）は、オイラーのベータ関数の n 次元への一般化であり、 により導入された。

セルバーグの積分公式

セルバーグの公式は、well poised hypergeometric series に対するを含んでおり、またの特別な場合をいくつか含んでいる。

青本の積分公式
 は少しだけ一般的な次の積分公式を証明した。

メータの積分
メータ (Mehta) の積分は、

である。これは直線上を動く原点に引き寄せられる点電荷の気体の分配函数である 。その値はセルバーグ積分の値から導手することができ、

となる。これは  により予想された。彼らはセルバーグのより早期の仕事について知らなかった。

マクドナルドの積分
 はメータの積分のすべての有限ルート系への次のような拡張を予想した。（メータのもともとの場合は An−1 というルート系に対応する。）

積はルート系のルート r 全体を渡り、数 dj は鏡映群の不変式環の生成元の次数である。 はすべての結晶鏡映群に対する統一的な証明を与えた。数年後彼は、Garvan によるコンピュータによる計算支援を利用して、完全な一般性を以ってそれを証明した ()。

参考文献
 (Chapter 8)


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