エルミート標準形

数学の線型代数学におけるエルミート標準形（エルミートひょうじゅんけい、）とは、整数全体 Z についての行列の行階段形と同様の概念である。

 非特異正方行列 
成分が整数であるような非特異正方行列 M = (mij) がエルミート標準形（Hermite normal form, HNF）であるとは、次を満たすときを言う：

 M は上三角行列である何人かの研究者は下三角行列を用いることを好む。すなわち、定義の残りにおいて適切な調整がなされる必要があるのである。。
 対角成分 mii が正である。
 i > j に対し、mii > mji ≥ 0 が成立する。すなわち、ある列において、その対角成分よりも上に位置する成分は非負であり、その対角成分よりも小さい。

 一般的な行列 
より一般的に、成分が整数であるような m×n 行列がエルミート標準形（HNF）であるとは、
 0 ≤ r ≤ n を満たすような r、および
 単調増加関数 f: [r + 1, n] → [1, m]
が存在し、M のはじめの r 列がゼロで、r + 1 ≤ j ≤ n に対し
 mf(j)j > 0。
 i > f(j) のときは、mij = 0。
 k < f(j) のときは、mf(j)j > mkj ≥ 0。
が成立することを言う。

 エルミート標準形の一意性 
成分が整数であるような m×n 行列 A が任意に与えられたとき、
 ただし U ∈ GLn(Z)（すなわち、U はユニモジュラ行列である）
を満たすような、整数成分のエルミート標準形の m×n 行列 H が一意に存在する。H の非ゼロの列により構成される行列のことを、A のエルミート標準形と呼ぶ。

 例 
以下の行列 A のエルミート標準形が、H である。

 例 
行列 A のエルミート標準形が、行列 H である。

ここで r=2; f(3)=1,  f(4)=2, f(5)=3, f(6)=4 が得られる（f(j) は、列 j に含まれる最小の非ゼロ成分の行を与える）

 関連項目 


 注釈 

 参考文献 
Section 2.4.2 of 

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