素数階乗素数

素数階乗素数（そすうかいじょうそすう、）とは、 を素数として、 の形で表される素数である。ここで、 は素数階乗（ 以下の素数の総乗）である。素数階乗素数は、 の形の素数である階乗素数の類似の概念である。2022年12月現在、42個が知られている。

 ユークリッド数 
素数に限らず、 の形の数をユークリッド数 (Euclid number) と呼ぶ。名の由来は、素数が無数に存在することの証明のために、ユークリッドがこの数を用いたと広く信じられていることによるユークリッドはより一般の議論をしたのであって、この数を用いたというのは正確ではない。M. Hardy and C. Woodgold, Prime Simplicity, Mathematical Intelligencer, volume 31, number 4, 2009, 44-52.。初めのいくつかのユークリッド数は、以下の通り。
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このうち、素数であるもののみを抜き出すと、
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であり、この次の数は154桁になる。 が素数となるような素数  は、2024年8月現在で
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の24個が知られている。このうち最大のもの  は2,281,955桁の数で、2024年8月にItsuki Kadowakiにより発見されたPrime Bios, 。

 クンマー数 
 の形の数は、クンマーがユークリッドの定理を証明するのに用いた、という由来があり、
第二ユークリッド数またはクンマー数(Kummer number)と呼ばれている。小さい順に以下の通りである。
, , , , , , , , , , …（）
このうち、素数であるもののみを抜き出すと、
, , , , , , …（）
である。 が素数となるような素数  は、2017年8月現在で
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の20個が知られている。このうち最大のもの  は476,311桁の数で、2012年3月に分散コンピューティングプロジェクトの PrimeGrid により発見された。

 素数探索 
 の形の素数が無数にあるのかも、合成数が無数にあるのかも分かっていないGuy, A2。ポーヤ・ジェルジは、 が素数になる頻度はどのくらいか、と質問した学生に、「愚者が問うことができるが、賢者が答えることができない質問はたくさんある」と答えたというWells, primorial の項。

コールドウェルとギャロットは、2002年までに、 以下の全ての素数  に対して  が素数であるかどうか検査したC. K. Caldwell, primorial prime - Prime Pages。ホイヤーがコールドウェルに非公式に伝えたところによると、2004年までに 42,507番目の素数 (512,903) 以下の p に対して、p# + 1 が素数であるかどうかは検査済みである。

 脚注 

 参考文献 
 - Prime Pages を訳したもの

 外部リンク 

 C. K. Caldwell primorial prime - Prime Pages.

 関連項目 
素数階乗
階乗素数
素数が無数に存在することの証明

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