一般のライプニッツの法則

数学の微分積分学において一般化されたライプニッツの法則 (generalized Leibniz rule), 一般のライプニッツの法則（いっぱんのライプニッツのほうそく、Olver, Applications of Lie groups to differential equations, page 318；一般ライプニッツ則）あるいは単にライプニッツの法則は、積の法則（これもまたライプニッツの法則と呼ばれる）の一般化であり、 を 回微分可能な関数とするとき、それらの積  の 階微分が

で与えられることを述べるものである。ここで  は二項係数である。ドイツの哲学者・数学者のゴットフリート・ライプニッツの名に因む。

この法則は、積の法則と数学的帰納法を用いることで証明できる。

 例 
  のとき (積の微分法則) 
  のとき 
  のとき 
各項の係数は二項定理と同様に二項係数となり、パスカルの三角形から求めることができる。

 多因子版 
 が 個の 階微分可能函数のとき、

と書ける。

ここで、 は多項係数である。

 多変数版 
多重指数記法を使い、より一般に

の形に規則を述べることもできる。この式は、微分作用素の合成の表象を計算する公式の導出に用いられる。実は、 を（係数が十分多くの回数微分可能であるような）微分作用素とし、 とするとき、 もまた微分作用素であり、 の表象が  で与えられるから、ここに直接計算によって

を得る。この公式はふつう、ライプニッツの公式 (Leibniz fomula) と呼ばれる。これを用いて表象の合成が定義できて、表象全体の成す空間には環の構造が入る。

 関連項目 

 微分環
 積の微分法則
 微分

 注釈 

 外部リンク 


  / 


Category:微分積分学
Category:微分法
Category:微分法則
Category:数学に関する記事
Category:ゴットフリート・ライプニッツ