正則性公理

正則性公理（せいそくせいこうり、）または基礎の公理（きそのこうり、）とは、ツェルメロ＝フレンケル集合論（ZF公理系）などの集合論の公理系を構成する公理の一つであり、非空集合の元のもち方を制約する。ZF公理系を構成する他の公理のもとで同値となる様々な命題がある。1925年にジョン・フォン・ノイマンによって導入された。

定義

任意の集合は、元をもたないか、自身と互いに素な元をもつ。

これは（対の公理とともに）、たとえば、どの集合もそれ自体の元ではなく、どの集合も順序数のランクを有することを意味する。

下記のどの命題も、ZF公理系の他の公理のもとで同値であり、どれを正則性公理として採用しても差し支えない。

任意の集合  について、 が  上の整礎関係である。

 は集合論の宇宙を指し、 は整礎的集合全体のクラス（フォン・ノイマン宇宙）を指す。

ZF公理系内に限って説明を進める。 を下記のように定義する。 は冪集合を返す関数である。

任意の順序数  について、
任意の極限順序数  について、

クラス  はこれらを全て集めたものとして定義される。

ZF公理系の他の公理から得られる種々の集合演算（対集合、和集合、冪集合）の結果としての集合は常に  内に含まれる。すなわち  は、全ての集合を  に通常の集合演算を施して得られるものに限ると定める。したがって、例えば  を満たす  や、 を満たす  は、正則性の公理の下で集合にならない。

性質

 の定義より、 のとき、 を満たす最小の順序数  は後続順序数になる。実際、 を極限順序数として  及び  が成り立っているとすると、

となって矛盾する。

そこで、集合  のランクを次のように定義する。

 のとき、 を満たす最小の  を集合  のランクといい、 で表す。

よって、 ならば

が成り立ち、 かつ  となる。また、このランクの概念を用いて  は次のように特徴付けられる。

及び、

ランクを計算するときに次の補題を使う。

のとき、

かつ

 とすると 

 ならば だから

 脚注 

 参考文献 

関連項目
整礎的集合
公理的集合論
集合論

外部リンク

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