モーデル作用素

モーデル作用素(モーデルさようそ、)とは、関数に作用する作用素。

定義
各素数に対して、
モーデル作用素は、ラマヌジャンが考察した関数
黒川信重・栗原将人・斎藤毅共著「数論Ⅱ：岩澤理論と保型形式」岩波書店、2005、ISBN 4-00-005528-3、p.382.

に作用する作用素として、以下のように定義される
黒川他「数論Ⅱ」p.385.。

歴史
1916年にラマヌジャンはに関して、次の2つの命題を予想した黒川他「数論Ⅱ」p.384.。
ディリクレ級数をと定義するとが成立する。
素数に対して、が成立する。(「ラマヌジャン予想」と呼ばれる。1974年にドリーニュによって証明された黒川他「数論Ⅱ」pp.385, 395.G.H.Hardy, Ramanujan:Twelve lectures on subjects suggested by his life and work(reprint), 1999, AMS Chelsea Publishing, ISBN 0-8218-2023-0, p.246.P.Delignu, La conjecture de Weil. I., Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math.(1974), no.43, 273-307.。)
さらに、次の命題を証明した。
素数に対して、
1917年、モーデルはこの3つのうち最初の命題を証明したG.H.Hardy, Ramanujan, p.184.
L.J.Mordell, On Mr.Ramanujan's empirical expansions of moduler functions, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 19(1917)117-124.。
その時の証明の中で、モーデル作用素を定義し、
がモーデル作用素の固有状態で、その固有値がであることを示した。

出典

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