シャッテンノルム

数学の、特に関数解析学の分野におけるシャッテンノルム（）あるいはシャッテン＝フォン・ノイマンノルムとは、トレースクラスノルムやヒルベルト＝シュミットノルムと同様に、p-可積分性の一般化として考え出されたノルムである。の名にちなむ。

 定義 
 と  を可分なヒルベルト空間とし、 を  から  への（線型）コンパクト作用素とする。 に対して、作用素  のシャッテン p-ノルムは次のように定義される：



ここで、 は  の特異値、すなわち、コンパクトエルミート作用素  の固有値であるとする。正作用素 T*T に関する汎函数計算により、次式が従う：



シャッテンノルムが有限であるような作用素はシャッテン p-クラス作用素と呼ばれ、そのような作用素からなる空間は  と表される。シャッテンノルムについて、空間  はバナッハ空間であり、p=2 の場合はヒルベルト＝シュミット作用素からなるヒルベルト空間である。

 性質 

シャッテンノルムはユニタリ不変である。すなわち、ユニタリ作用素  と  に対して、



が成り立つ。

極分解により、p-次シャッテンクラス作用素の空間は B(H) 内のイデアルであることが証明される。 はヒルベルト＝シュミットノルム（ヒルベルト＝シュミット作用素を参照）であり，また  はトレースクラスノルム（トレースクラスを参照）であることに注意されたい。

 双対性 

p, q を共役指数 (1/p + 1/q = 1) の対，S ∈ Sp，T ∈ Sqとするとき，対応するシャッテンノルムは次の形式のヘルダーの不等式を満たす：



H 上のコンパクト作用素からなる、作用素ノルムについてのバナッハ空間を  とすれば、上の形式のヘルダーの不等式は  に対しても成立することが分かる。このことから、,   は well-defined な縮小写像であることが従う（ここで、プライム記号 ' は（位相空間論的な）双対を表す）。

 関連項目 
 行列ノルム

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