連続線型拡張

数学の関数解析学の分野における連続線型拡張（れんぞくせんけいかくちょう、）とは、次に述べる手順のことを指す：

完備なノルム線型空間  上にある線型変換を定義する時、初めに  内の稠密な部分集合上に線型変換  を定義し、その後、後述の定理によって、 を全空間へと拡張することが便利となることが、しばしばある。この結果として得られる拡張は線型かつ有界（したがって、連続）である。

 定理 
以下のBLT定理が知られている。なお「BLT定理」という名称は有界線型変換（Bounded Linear Transformation）による。

定理の後半のノルムに関する部分は前半から明らかに従う。

 応用 
一例として、リーマン積分の定義について考える。ある閉区間  上の階段関数は、次の形式で記述される：

ここで  は実数であり、 とし、 は集合  の指示関数を表す。 上のすべての階段関数からなる空間に  ノルム（Lp空間を参照）を備えたものはノルム線型空間であり、ここではそれを  と表す。階段関数の積分を、次のように定義する：



このとき、関数としての  は、 から  への有界線型変換である。

 ノルムについて右側連続であるような、 上の区分的連続かつ有界関数からなる空間を、 で表す。上述の空間  は、 において稠密であるため、BLT定理を応用することが出来る。結果として線型変換  は、 から  への有界線型変換  へと拡張される。これにより、 内のすべての関数についてリーマン積分を定義することが出来る。すなわち、すべての  に対して、そのリーマン積分は

で定義される。

 ハーン＝バナッハの定理 
上述の定理によって、有界線型変換  を、「 が  において稠密であるなら」、 から  へのある有界線型変換へと拡張することが出来た。 が  において稠密でない場合、ハーン＝バナッハの定理を使うことで、ある拡張が存在することを示すことが出来る場合もある。しかし、そのような拡張は必ずしも一意ではない。

 脚注 

 参考文献 

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