チャーン・ヴェイユ準同型

チャーン・ヴェイユ準同型（）とは、チャーン・ヴェイユ理論の基本構成であり、微分可能多様体 M に対して M のド・ラームコホモロジーと M の曲率を関連付けている。つまり、（微分）幾何学とトポロジーの関連づけを意味する。1940年代以来の陳省身とアンドレ・ヴェイユの理論は、特性類の理論での重要なステップである。この理論はガウス-ボネの定理の一般化でもある。

 により実数 もしくは 複素数 を表すことにする。G は実もしくは複素リー群でリー代数  を持っているとする。

で、 の上の  に値を持つ多項式のベクトル空間の代数を表すとする。 を G の随伴作用の下で次の条件を満たす  の固定点のなす部分代数とする。すべての  に対して、

チャーン・ヴェイユ準同型は、 からコホモロジー代数（環）  への準同型である。そのような準同型が存在れば、すべての M 上のG-主バンドル P に対して一意的に決まる。もし G がコンパクトであれば、この準同型の下に G-バンドルの分類空間 BG のコホモロジー代数（環）は、次の不変多項式の代数（環） に同型である。

SL(n,R) のような非コンパクト群に対しては、不変多項式によって表現できないようなコホモロジー類が存在する可能性がある。

準同型の定義
P の中の任意の接続形式 ω を選び、 を ω についての曲率 2-形式とする。 が次数 k の同次多項式として、 を

で与えられる P 上の 2k-形式とする。ここに  は 2k 個の対称群   の置換の符号  である。

すると次のことが示される。

は閉形式であり、

で、ド・ラームコホモロジー類 

は P の接続の選択に依存しないので、主バンドルにのみ依存する。

このようにして f から得られるコホモロジー類

について、代数（環）準同型

を得る。

参考文献
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 Shiing-Shen Chern, Complex Manifolds Without Potential Theory (Springer-Verlag Press, 1995) ISBN 0-387-90422-0, ISBN 3-540-90422-0.
The appendix of this book: "Geometry of Characteristic Classes" is a very neat and profound introduction to the development of the ideas of characteristic classes.
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 特性類と幾何学　森田茂之著　岩波書店

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