加法的関数

数論における加法的関数（かほうてきかんすう、）とは、正の整数  についての数論的関数  であって、任意の互いに素な  と  に対し、その積の関数と、それらの関数の和が等しいようなもの、すなわち

を満たすようなもののことをいうErdös, P., and M. Kac. On the Gaussian Law of Errors in the Theory of Additive Functions. Proc Natl Acad Sci USA. 1939 April; 25(4): 206–207. online。加法的関数  が完全加法的 (completely additive, totally additive) であるとは、全ての（互いに素でない場合も含む）正の整数  と  に対して  が成立することをいう。 が完全加法的関数であるならば、 である。

すべての完全加法的関数は加法的であるが、その逆は成立しない。

 例 
完全加法的な数論的関数の例を以下に挙げる：

 対数関数の自然数  への制限。

 素因数  の  における重複度 (multiplicity)、すなわち  を割り切るような  の最大のべき指数 。

 ：  の重複も含めた素因数の和（）。,  のポテンシー (potency)、あるいは  の整対数 (integer logarithm) と呼ばれることがある。例：

 ：  の素因数の重複も含めた総数。ビッグオメガ関数 (big omega function) とも呼ばれる（）。例：

, なぜならば  は素因数を持たないから

続いて、加法的であるが完全加法的ではない数論的関数の例を挙げる：

 ：  の異なる素因数の総数（）。例:

 ：  の異なる素因数の和。 とも呼ばれる（）。例：

 乗法的関数 
任意の加法的関数  を用いて、乗法的関数 , すなわち、互いに素な  と  に対して

を満たすような関数を作ることは簡単である。例えば、 とおけばよい。

 脚注 

 注釈 

 出典 

 参考文献 


 外部リンク 




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