電磁場テンソル

電磁場テンソル（でんじばテンソル）とは、電磁場を相対性理論に基づいた4次元時空の形式で記述した2階の反対称テンソル場である。以後、相対論と言えば、特に断りがなければ特殊相対性理論を指す。

 定義 
電磁場の強度（） は二階のテンソル

と定義されるランダウ, リフシッツ pp.67-69, §23.電磁場テンソル。
ここで  は相対論的な4元ベクトルの電磁ポテンシャル

であるここではミンコフスキー計量の符号を η=diag(-1,+1,+1,+1) に選んでいる。。
また、微分も相対論的な4元ベクトル

である。

定義から電磁場テンソルは明らかに反対称テンソルである。従って独立成分は6つある。
これは3次元空間のベクトル場である電場の強度  と磁束密度  の各成分に対応する。
電場の強度と磁束密度は3次元空間の電磁ポテンシャルによって

と表される。
あるいは各成分毎に

と書くことが出来る。
具体的には

である。上付きの
 は

となる。それぞれ行列の形で表せば

となる。

 双対テンソル 
完全反対称テンソル  を用いれば、電磁場の強度  に双対なテンソル

が定義されるジャクソン 819頁。
具体的には

であり、行列の形で表せば

となる。

 媒質中の電磁場 
媒質中での電磁場を表す電束密度  と磁場の強度  は、電磁場の強度と同様に二階のテンソル  によって相対論的な形式で記述される。
それぞれの成分は具体的には

であるジャクソン 820頁。このテンソル  はサブ電磁テンソルとも呼ばれる。
サブ電磁テンソル  は電磁場の強度  と

で関係付けられる。ここで  は分極テンソルであり、その成分は誘電分極  と磁化  である。
具体的には

である。
サブ電磁テンソル  と分極テンソル  をそれぞれ行列の形で表せば

である。

 球座標表示 
球面座標系  による4元ポテンシャルの成分表示は

であり、電磁場強度  として

が得られる。
平坦な時空のミンコフスキー計量とその逆行列は球座標において

であり、電磁場強度の添え字を上げると

となる。

例えば、原点に点電荷  が存在するときの電磁場テンソルは

で表される。

 マクスウェルの方程式 
電磁場テンソルによって、相対論的な形でマクスウェルの方程式を記述することができる。
定義からビアンキ恒等式

が成り立つランダウ, リフシッツ pp.74-75, §26.マクスウェル方程式の第1の組。
双対テンソルを用いれば

と表すことも出来る。
この式は添え字  についての4つの方程式であり、それぞれ

と対応する。

自由空間における電磁場の運動方程式は

と表される。
ここで  は4元電流密度である。
この式は添え字  についての4つの方程式であり、それぞれ

と対応する。

 媒質中の運動方程式 
媒質中の運動方程式は

と表される。
成分ごとにそれぞれ

である。

 ローレンツ力 
電磁場テンソルは荷電粒子に作用するローレンツ力を相対論的に記述する際に現れる。
相対論的な粒子の位置を  で表すとき、電荷  を帯びた荷電粒子に作用するローレンツ力は

となる。
ここで  は粒子の4元運動量である。ドットは運動のパラメータによる微分である。

 一般相対論 
時空の曲率、すなわち重力場がある場合に、偏微分はテンソルとはならず、レヴィ・チヴィタ接続を導入して共変微分への置き換えが必要となる。しかし、電磁場強度  は偏微分による定義を変更することなくテンソルである。反対称性により共変微分の接続が相殺されるため

となるランダウ, リフシッツ pp.285-287, §90.。ビアンキ恒等式は定義から成り立つので変更を要しないが、運動方程式は

であり、共変微分への置き換えが必要となる。

 脚注 

 注釈 

 出典 

 参考文献 



 関連項目 
電磁気学
特殊相対性理論
テンソル
マクスウェル方程式
アインシュタインの縮約記法

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