ゼータ函数 (作用素)

作用素  のゼータ函数は、以下のように定義される関数である。

の右辺が存在するような s に対してはこの式で、他の s の値に対してはこの函数の解析接続として定義される。ここに tr は函数のトレースを表す。

ゼータ函数は、次の式で作用素  の固有値  によってスペクトルのゼータ函数(spectral zeta function)Lapidus & van Frankenhuijsen (2006) "Fractal geometry, complex dimensions and zeta functions. Geometry and spectra of fractal strings" http://www.drchristiansalas.org.uk/MathsandPhysics/Fractal/FractalGeometryComplexDimensionsZetaFunctions.pdf p.23 としても表現できる。

これは汎函数行列式を厳密に定義することに使われる。それは

で与えられる。

ミナクシサンドラム–プレイジェルゼータ函数は、作用素がコンパクトリーマン多様体のラプラシアンの場合の例である。

また、この考え方は、ゼータ函数正規化や解析的トーションに適用される。

さらに、代数幾何学的に一般化された熱核の方法とともに、作用素のゼータ函数は、の最も重要な動機の一つになっている。

参考文献




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