移流拡散方程式

移流拡散方程式とは、移流方程式と拡散方程式が組み合わされた、それらよりも一般的な流れを表す2階線型偏微分方程式である。
数学的表現
物理量φ(t , x )が、速度c で流れ、かつ拡散係数D で拡散する場合の移流拡散方程式は次の式で表される：

 解析解 
1次元で、係数c , D が定数の移流拡散方程式

については、ラプラス変換を利用して解析解を求めることができる齋藤大作・星清、1997、移流拡散方程式の解析解(1)、開発土木研究所月報第533号、寒地土木研究所、http://kankyou.ceri.go.jp/houkoku/1997/11.pdf。ここで、境界条件として次の単位ステップ関数を仮定する：

また、初期条件としては次を仮定する:

（実質的にt > 0, x > 0 の解にのみ興味がある。）

このとき、解は

となる。ここで、erfc(z )は相補誤差関数である。

 定常解 
上記からさらに、定常としたときの解析解はより簡単になる。このとき移流拡散方程式は

である。x の範囲は区間 [0, L ] 内とし、境界条件として

とする。この時の解析解は

ただし

と表される。ここでPe はペクレ数（Péclet number）といい、移流と拡散の比を表す無次元量である。

この解はとても簡単であるため、CFDにおいて解法の評価に用いられる。

 参考文献 

 関連項目 
 ナビエ-ストークス方程式 - 物理量として速度をとった移流拡散方程式である。
 バーガース方程式

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