Σ集合環

数学における σ-集合環（シグマしゅうごうかん、）あるいは σ-環は、-集合代数（あるいはトライブ-集合環のことをトライブ (tribe) と呼ぶものもある。）より少し一般の定義を持つ集合族で、今日では -集合代数によって展開されることの多い測度論は、-集合環を用いて定式化することもできる。

 定義、例、性質 

 定義  集合 X 上の -集合環とは、可算合併に関して閉じている集合環を言う-集合環の定義は測度論の形成において遍在している。例えば  p. 24

 任意の-集合代数は -集合環である。集合代数が全体集合  を含む集合環であったと同様に、σ-集合代数は全体集合  を含む -集合環を言う。
 有限集合上の集合環は -集合環になる。集合代数を成さない有限集合上の集合環は、-集合代数でない -集合環の例を与える。例えば二元集合  の集合環  は -集合環だが -集合代数でない。
 任意の集合  上の高々可算な部分集合全体の成す族  は -集合環であり、これが生成する -集合代数  はで与えられる。 が非可算無限集合ならば、 は  に真に含まれ、 は -集合代数ではない -集合環の例を与える。
 ブール環と見て、集合代数は交叉に関する単位元を持つ。より一般の集合環は（特に -集合環は）、上記  の例のように単位元を持つものもあれば、次の例のように単位元を持たないものもある。集合環  が交叉に関する単位元を持つ必要十分条件がであることを見るのは易しい。 上の -集合環が交叉に関する単位元  を持てば、実は  上の -集合代数になるこの注意については  に単位元の存在が、また , に -集合環の元の和についての条件が書かれている。。
 任意の -集合環は -集合環であるが逆は真ではない（-集合環の項を参照）。

 測度論における用例 
1915年にフレシェは、今日知られているものと程近い測度の定義を提唱し、それは実数とは無関係に「抽象的な集合」が扱われた最初であった。フレシェの論文では -集合環の名称はまだ使われていない に  への言及がある。。20世紀の中ごろまでは、測度論の説明に -集合代数ではなく -集合環がしばしば用いられていた故には「可測空間」を単位元を持つ -集合環によって定義しており、また  p. 35 は必ずしも単位元を持たない -集合環を使って「可測空間」を定めている。。

-集合代数でない -集合環  上で定義された測度  が与えられたとき、それを -集合代数上へ拡張する方法は少なくとも二種類考えられる。一つは、-集合環を -集合環として考え、δ-集合環の項に言う方法で局所可測集合全体の成す -集合代数へ  を延長する。いま一つは  を  の生成する -集合代数  まで延長するために、まだ測度の定義されていない集合に関しては測度が  であると定める方法である。これら二つは、同じ -集合代数を生成した場合でも、必ずしも同じ延長を与えるものではない。  が非可算無限集合であるとき、 上の高々可算部分集合全体の成す -集合環  とその上の測度  は零測度を考えると、前者の方法では  は（ の部分集合全体の成す -集合代数上で）零測度に延長されるが、後者は補可算または補有限な集合の測度が無限大になる。

 注釈 

Category:測度論
Category:集合族
Category:数学に関する記事