傾き (数学)

数学における平面上の直線の傾き（かたむき、）あるいは勾配（こうばい、）は、その傾斜の具合を表す数値である。ただし、鉛直線に対する傾きは定義されない。一般的な用語として水平は傾いているとは言われないが、数学では「傾き０」とされ水平も傾きに含まれる。

傾きは普通、直線上の2点間の変化の度合い、すなわち  の変化量に対する  の変化量の比率として定義される。また、同値な定義として、傾き  は傾斜角を  として

と書くことができる。

曲線上の微分可能な1点に対しても、傾斜の具合を表す数値（微分係数）が、傾きの考え方により定義できる。

傾きの概念は、地理学および土木工学における斜度や勾配（たとえば道路など）に直接応用される。

 定義 
平面上の直線の傾きは、座標の増加量に対する 座標の増加量の比率と定義される。式で書けば、直線の傾き  は

で記述される。ここで、ギリシア文字 "Δ"（デルタ）は、数学において「増加量」や「増分」を表す符牒としてよく用いられる。

増加量とは差のことなので、直線上の2点を任意に取り、それらを (, ), (, ) とする。このとき、 は

で求められる。

これらの等式から分かるように、鉛直線（軸に平行な直線）の傾きは、ゼロ除算となり、定義されない。

（例）

直線が2点 ,  を通るとする。増加量として、 に対する  の増加量と考えるか、 に対する  の増加量と考えるかで符号の違いが現れるが、それらの商である傾きとしてはどちらも変わらない。ここでは  に対する  の増加量を考える。
の増加量 Δ = 13 − 1 = 12
の増加量 Δ = 8 − 2 = 6
傾き  とは、座標の増加量 Δ に対する 座標の増加量 Δ の比率のことなので、

である。

直線が2点 ,  を通るならば、傾きは

である。

 傾斜角による記述 
傾斜の度合いを表す傾きは、傾斜角と関係が深い。たとえば、傾き 1 の直線の傾斜角は 45° である。傾き −1 ならば、傾斜角を 0°～180° の範囲で考えると 135°、−90°～90° の範囲で考えると −45° である。なお、鉛直線の傾きは定義されなかったが、傾斜角は定義され、90° である。

傾斜角とは、直線と 軸の正の部分が作る角（反時計回りが正の向き）と定義される。取り得る範囲として 0° ≤  < 180° または −90° <  ≤ 90° の2つの流儀がある（状況に応じて使い分ける）。

直線の傾きを 、傾斜角を  とすると、2つの間には、三角法における正接函数を用いて

の関係がある。

 性質 
異なる2直線が平行であるための必要十分条件は、それらの傾きが等しいこと、または、傾きがともに定義されないことである。
異なる2直線が直交するための必要十分条件は、傾きの積が −1、または、傾きが 0 と定義されない場合であることである。
たとえば、傾き  の直線に垂直な直線の傾きは  である。
傾き m の直線と傾き m' の直線が作る角 θ は

で求められる（三角関数の加法定理）。

 1次関数における傾き 
 傾き・切片 
 は  の一次関数であるとする。このとき、 と  には  =  +  と表される関係があり、そのグラフは直線となる。この直線の傾きは  に等しい。
（証明）
 =  +  のグラフ上の任意の2点 ,  を取る。,  の 座標をそれぞれ ,  とすると、,  の座標は
 (,  + ),  (,  + )
である。
の増加量  =  − 
の増加量  = ( + ) − ( + )
=  − 
=  ( − )
傾き  は、
（証明終）
1次関数  =  +  において、 を傾きと呼ぶのに対して、 を 切片と呼ぶ。1次関数の 切片は、グラフ（直線）が  軸と交わる点の  座標に等しい。したがって、 =  +  の形の方程式を「傾き・切片標準形」と呼ぶこともある。

1次関数  =  +  のグラフは、軸平行の直線にはなりえないことに注意が必要である。

 1次関数の決定 
1次関数の傾き  と直線上の1点 (, ) が既知ならば、1次関数の方程式は

で与えられる（これを「点・傾き標準形」と呼ぶことがある）。

（例）

1次関数のグラフが2点 (2, 8), (3, 20) を通るとする。1次関数の傾き  は 

だから、直線の方程式は1点・傾き標準形で
 − 8 = 12( − 2)
と求まる。これはつまり
 = 12 − 16
である。

 直線の一般形 
前述の通り、1次関数のグラフは全ての直線を表さない。2変数線型方程式の一般形

は全ての直線を表す。 ≠ 0 ならば、傾きが存在し、 である。

 直線の切片形 
 の形の方程式は切片形と呼ばれる。このとき  は  の1次関数で、
切片が 
切片が 
となる。この直線の傾きは  である。

 方向ベクトルとの関係 
直線の傾きが  であることは、その直線の方向ベクトルが (1, ) であることと同値である。

 微分係数 
曲線上の1点に対しても、そこで微分可能ならば、傾斜の具合を表す数値としての傾きが定義できる。

 と  を曲線上の2点間のそれぞれ 座標、座標の増加量とすると、その2点を通る直線（弦という）の傾き  は

である。この2点間を狭めたときの  の極限が、そこを直線として近似した傾きと考えられる。これは接線の傾きであり、微分係数と呼ばれる。場所  を変数とした

を、曲線の導関数と呼ぶ。

微分係数が定義できない例としては、次のような例がある。
三角屋根型
 = || における  = 0
振動型
（これは  = 0 で連続である）における  = 0
ワイエルシュトラス関数

 関連項目 
勾配 (ベクトル解析): 多変数への一般化
平面における直線の標準形
縦断勾配

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