同伴行列

線型代数学におけるフロベニウスの同伴行列（どうはんぎょうれつ）あるいはコンパニオン行列（）とは、n 次モニック多項式

に対して

と定義されるn 次行列を言う。慣例的に、基底 v1, …, vn は、C = C(p) が基底を巡回するようにとる。つまり、Cvi = Civ1 = vi+1 (i < n) かつ v1 は K[C]-加群として V を生成する。

文献によってはいま挙げた行列の転置（と双対巡回座標）を採用するものもある。これは線型漸化式に用いるなどの目的でより効果を発揮する。

 特徴付け 
モニック多項式 p から定まる同伴行列 C(p) の固有多項式と最小多項式は p と一致する。このような意味でモニック多項式 p は正方行列 C(p) を〈同伴〉している。

行列 A が適当な体 K の元を成分にもつ n 次行列とすると、以下は同値：
 A はその固有多項式の同伴行列に K 上で相似である。
 A の固有多項式と最小多項式は一致する。
 A の最小多項式の次数は n である。
 K = span{v, Av, …, An−1v} となるベクトル v が存在する。 
 V = K は K[A]-加群として巡回的（かつ V = K[A]/(p(A)) である（このことを以って A は正常 (regular) であるという）。

一般には任意の正方行列 A が同伴行列に相似となるとは限らないが、いくつかの同伴行列 C(p), …, C(p) の直和

に相似となる。モニック多項式の列 , …,   は後に続く多項式を割り切るように選ぶことができ、それらは A により一意的に決まる。このようにして得られた区分行列 R を A の有理標準形と呼ぶ（代数閉体上における行列のジョルダン標準形の類似）。

 対角化可能性 
n 次モニック多項式 p が n 個の相異なる根（つまり同伴行列 C(p) の固有値）λ1, …, λn を持つならば、同伴行列 C(p) は 

と対角化できる。ただし V は λi たちに対応するヴァンデルモンド行列である。

 線型漸化式 
与えられた線型回帰数列の固有多項式が

であるとき、（転置）同伴行列

は、数列の項を一つ進めるという意味で、当該の数列を生成する。式で書けば

が成立する。

c0 = −1 かつ他の全ての i について ci = 0 のとき、即ち  p(t) = tn − 1 のとき、行列はシルベスターの巡回時計ずらし行列 (cyclic clock shift matrix) になる。

ベクトル (1, t, t2, …, tn−1) は、t が上記固有多項式の根であるとき、固有値 t に属する固有ベクトルである。

 注釈 

 出典 

 参考文献 



 関連項目 
フロベニウス準同型
ケイリー・ハミルトンの定理
単項イデアル整域上の有限生成加群

 外部リンク 



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