変形勾配

変形勾配（へんけいこうばい、）または変形勾配テンソル（）とは、連続体力学において、物体の変形を特徴付けるテンソル量である。

基準配置における物質点 およびその近傍の点 が、変形後にそれぞれ点 に移ったとする。 が微小であれば、 は線形近似できて

のように書ける。このとき を変形勾配と呼ぶ。変形勾配は物質座標系における量を空間座標系における標記へ変換するという意味を持つ。

基準配置 に対し、時刻 における変形勾配を 、時刻 における変形勾配を 、そして時刻 から への変形の変形勾配を と書けば、これらの間には次の関係が成り立つ。

変形勾配の行列式  は体積変化率と呼ばれる。

極分解とひずみテンソル
変形勾配はにより次のように2つのテンソルの積に分解できる。

ここで は直交テンソルである。 は左ストレッチテンソル（）、 は右ストレッチテンソル（）と呼ばれ、それぞれ正定値対称テンソルである。この分解は、任意の変形は剛体回転 とストレッチテンソル の主方向への伸縮との重ね合わせで表現できるという幾何学的意味を持つ。

さらにここから以下のテンソルが定義される。ここで は変位ベクトルである。
左コーシー・グリーンテンソル、右コーシー・グリーンテンソル

アルマンシー（Almansi）のひずみテンソル

グリーンのひずみテンソル

これらのテンソルを用いると、物体内の距離 の変化は次のように記述できる。

微小変形においては、アルマンシーのひずみテンソルとグリーンのひずみテンソルは一致する。

速度勾配テンソル
変形が時間とともに進むとき、その速度は速度勾配テンソル で記述される。

速度勾配テンソル の対称部分は変形速度テンソル、反対称部分は回転速度テンソルと呼ばれる。

プッシュフォワード、プルバック
変形勾配は基準配置を参照するテンソルと現在配置を参照するテンソルの変換作用素となる役割を持つ。たとえば冒頭で述べた

のように、基準配置を参照する座標 を現在配置を参照する座標 に変換する。このことを、  は へプッシュフォワードされる、あるいは は のプルバックであるという。

例としては、アルマンジひずみ はグリーンひずみ のプッシュフォワードであり、変形勾配を用いて以下のように変換される：

また、キルヒホッフ応力テンソル（コーシー応力と体積変化率の積）は第2パイオラ・キルヒホッフ応力テンソル のプッシュフォワードである：

 脚注 

 関連項目 
 ひずみ、
 非圧縮性 - であることを非圧縮性という。
 材料の構成式

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