均衡集合

が成立するようなもののことである。ここで

である。

集合 S の均衡包（balanced hull）あるいは均衡包絡集合（balanced envelope）とは、S を含むような最小の均衡集合のことである。それは S を含むような全ての均衡集合の共通部分として構成される。

例
 ノルムベクトル空間内の単位球は、均衡集合である。
 実あるいは複素ベクトル空間の任意の部分空間は、均衡集合である。
 均衡集合の族の直積（デカルト積）は、同じ体 K 上の対応するベクトル空間のにおいて、均衡である。
 一次元ベクトル空間として、複素数体 C を考える。その空間内の均衡集合は、C それ自身か、空集合、および 0 を中心とする開円板と閉円板（平面上の点として各複素数を可視化した場合）である。一方、二次元ユークリッド空間においてはさらに多くの均衡集合が存在する:(0,0) を中点とする任意の線分が均衡集合となる。結果として、ベクトル空間の構造に関して言えば、C と R2 は全く違うものであるということが分かる。
 p を線型空間 X の半ノルムとしたとき、任意の定数 c > 0 に対して、集合 {x ∈ X | p(x) ≤ c} は均衡となる。

性質
 均衡集合の和集合および共通部分は、均衡集合である。
 均衡集合の閉包は、均衡集合である。
 （性質からではなく）定義から、ある集合が絶対凸であることと、それが凸かつ均衡であることは、同値である。

関連項目
 星状領域

参考文献




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