ディガンマ関数

数学において、ディガンマ関数（でぃがんまかんすう、）あるいはプサイ関数（ぷさいかんすう、）とはガンマ関数の対数微分で定義される特殊関数Abramowitz & Stegun 1965, p. 258, 6.3. Psi (Digamma) Function.。ポリガンマ関数の一種である。

 定義 
ガンマ関数  に対し、その対数微分

をディガンマ関数と呼ぶ。

ディガンマ関数は、 で一位の極をもち，それらの点を除く全複素平面では解析的になる。

 基本的性質 

ガンマ関数のワイエルシュトラスの無限乗積表示

を対数微分することで、ディガンマ関数における

という表示を得る。特に とすれば、次の特殊値

を得る。但し、 はオイラーの定数である。

また、ディガンマ関数は次の漸化式を満たす差分作用素  を用いると、これは  となる。つまりディガンマ関数  は  の不定和分のひとつである。。

この関係式から、一般に

であり、特に とすれば、特殊値

が得られる。

 級数表示 

ディガンマ関数とその導関数は  で次の級数表示を持つ。

これらの級数は、ガンマ関数のワイエルシュトラスの無限乗積表示

の対数微分から導かれるものである、

また、 でのテイラー展開により、 の領域で次のように級数表示される。

ただし、 はリーマンゼータ関数を表す。

 積分表示 

 のとき、ディガンマ関数は次の積分表示を持つ。

但し、 は双曲線余接関数を表す。

また、ディガンマ関数同士の差について、以下が成り立つ。

 相反公式 

ガンマ関数の相反公式に対し、対数微分をとることで次の関係式が導かれる。

但し、 は余接関数を表す。

 漸近展開 

 のとき、ディガンマ関数は次の漸近展開をもつ。

但し、 はベルヌーイ数である。

 特殊値 

ディガンマ関数は、正の整数において、次の値をとる。

但し、は調和数を表す。

また、正の半整数において、次の値をとる。

 脚注 

 参考文献 
 Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.  Dover (1965) 
 E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press (1927; reprinted 1996) 
 George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, Academic Press; ジョージ．ブラウン・アルフケン、ハンス．J・ウェーバー (著)、 権平健一郎、神原武志、小山直人 (翻訳) 『基礎物理数学第4版Vol．3　特殊関数』 講談社 (2001) 

 関連項目 
 ガンマ関数
 ポリガンマ関数

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