ポリガンマ関数

オレンジがディガンマ関数、黄色がトリガンマ関数、緑がテトラガンマ関数、赤がペンタガンマ関数、青がヘキサガンマ関数に対応する。

数学において、ポリガンマ関数（ぽりがんまかんすう、）とは、ガンマ関数の対数微分による導関数として定義される特殊関数。ディガンマ関数やはポリガンマ関数の一種である。

 定義 

ガンマ関数 Γ(z) に対し、その対数微分

で、定義される関数をポリガンマ関数と呼ぶ。

ψ(z), ψ(1)(z), ψ(2)(z), ψ(3)(z),  ψ(4)(z) は、それぞれディ-、トリ-、テトラ-、ペンタ-、ヘキサ-ガンマ関数と呼ばれる。

ポリガンマ関数 ψ(n)(z ) は z = 0, −1, −2, ... で n + 1 位の極をもち，それらの点を除く全複素平面では解析的になる。

 漸化式 

ポリガンマ関数は次の漸化式を満たす。

 級数表示 

ポリガンマ関数はz ≠0, -1, -2, -3...で次の級数表示を持つ。

また、z =0でのテイラー展開により、|z |<1の領域で次のように表される。

但し、γ =0.5772...はオイラーの定数、ζ(n )はリーマンゼータ関数を表す。

 積分表示 

Rez >0のとき、ポリガンマ関数は次の積分表示を持つ。

 相反公式 

ガンマ関数の相反公式に対し、対数微分をとることで次の関係式が導かれる。

但し、cot πz は余接関数を表す。

 漸近展開 

z →∞　(|argz | < π)のとき、ポリガンマ関数は次の漸近展開をもつ。

但し、B2kはベルヌーイ数である。

 特殊値 

ポリガンマ関数は、m=1において、次の値をとる。

ポリガンマ関数は、m≧2の正の整数において、次の値をとる。

但し、γ はオイラーの定数、Hm-1は調和数を表す。

 参考文献 
 Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.  Dover (1965) ISBN 978-0486612720
 E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press (1927; reprinted 1996) ISBN 978-0521588072
 George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, Academic Press; ジョージ．ブラウン・アルフケン、ハンス．J・ウェーバー (著)、 権平健一郎、神原武志、小山直人 (翻訳) 『基礎物理数学第4版Vol．3　特殊関数』 講談社 (2001) ISBN 978-4061539792

 関連項目 
 ガンマ関数
 ディガンマ関数

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