フルヴィッツ行列

フルヴィッツ行列は、ドイツの数学者のアドルフ・フルヴィッツの名にちなむ行列のこと。

フルヴィッツ行列とフルヴィッツの安定判別法
数学の分野におけるフルヴィッツ行列とは、実多項式の係数から構成される実構造化正方行列のことである。すなわち、実多項式

に対して得られる  次正方行列

を多項式  に対するフルヴィッツ行列と呼ぶ。1895年にアドルフ・フルヴィッツは、実多項式  が安定であること（すなわちその全ての根が複素平面の開左半平面に存在すること）の必要十分条件として、そのフルヴィッツ行列  の主座小行列式すべてが正であること（たとえば

が成立することなど）を得た。各小行列式   はフルヴィッツ行列式と呼ばれる。

フルヴィッツ安定行列
工学の分野や安定性理論において、正方行列  が安定行列であるとは、その全ての固有値の実部が負であること、すなわち

が行列  の各固有値  に対して成立することを言う。そのような行列  は安定性行列とも呼ばれる。その理由は、そのような行列  に対する微分方程式

が漸近安定（すなわち   が成立）となるからである。

（行列値）伝達関数  がフルヴィッツであるとは、その全ての成分の極の実部が負であることを言う。ここでそのような  は、必ずしもフルヴィッツ行列である必要はなく、また正方行列である必要もないことに注意されたい。この概念とフルヴィッツ行列との関係として、もし行列  がフルヴィッツ行列であるなら、力学系


にはフルヴィッツ伝達関数が存在する、というものが挙げられる。

連続的な力学系の任意の双曲型不動点（あるいは平衡点）が局所的に漸近安定であることと、その力学系のヤコビ行列がその不動点においてフルヴィッツ安定であることは、必要十分である。

フルヴィッツ安定行列の概念は制御理論において重要な位置を占める。システムは、その制御行列がフルヴィッツ行列であるなら、安定となる。その行列の固有値の負の実成分はネガティブフィードバックを表す。同様に、どの固有値も正の実成分を持つようなシステムは不安定となり、これはポジティブフィードバックを表す。

参考文献


 Hassan K. Khalil (2002). Nonlinear Systems. Prentice Hall.
 Siegfried H. Lehnigk, On the Hurwitz matrix, Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik (ZAMP), May 1970
 Bernard A. Asner, Jr., On the Total Nonnegativity of the Hurwitz Matrix, SIAM Journal on Applied Mathematics, Vol. 18, No. 2 (Mar., 1970)
Dimitar K. Dimitrov and Juan Manuel Peña,  Almost strict total positivity and a class of Hurwitz polynomials, Journal of Approximation Theory,  Volume 132, Issue 2 (February 2005)

 関連項目 
 ラウス・フルヴィッツの安定判別法 

 外部リンク 

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