ノイマン級数

関数解析学において、ノイマン級数（ノイマンきゅうすう、）とは、無限級数によって定義される逆作用素。定理の名はドイツの数学者C. ノイマンに由来する。

 定義 
A をバナッハ空間 X での有界な線形作用素とする（A ∈ B(X)）。このとき、A の作用素ノルム ||A|| が ||A|| < 1 を満たすならば、恒等作用素 I との差で与えられる I − A は1対1で (I − A)−1 が有界作用素として存在するとともに、

が成り立つ。この級数をノイマン級数と呼ぶ。また、このとき、ノルムは

と評価される。

これは、|x| < 1 なる x ∈ C についての等比級数

の作用素への拡張になっている。

特に z ∈ C と有界作用素 A について、|z| > ||A|| であれば、レゾルベント作用素 (zI − A)−1 が存在し、

および

が成り立つ。

 逐次近似との関係 
バナッハ空間 X の元u、v と線形作用素 A で与えられる方程式

を考える。ここで、v は既知の変数とし、u を未知の変数とする。この方程式は

と変形できることから、逆作用素 (I − A)−1 が存在し、それが求まれば、問題は解ける。
一方、元の方程式において、逐次代入を繰り返せば、

となる。従って、An+1u の項が無視できるとすると

で定義される un が逐次近似解となる。ノイマン級数は、一定の条件が満たされば、n → ∞ で逐次近似解 un が真の解となり、

となることを意味している。ノイマン級数の結果から、逐次近似解 un の誤差評価を行うこともでき、

である。

 積分方程式への応用 
バナッハ空間 X を有限区間 [a, b] 上の連続関数からなる関数空間 C([a, b]) とし、
K (x, y) を [a, b] × [a, b] で定義された連続関数、f(x) を [a, b] 上の連続関数（f ∈ C([a, b])）とする。このとき、C([a, b]) において、フレドホルム型積分方程式

を考える。ここで、

としたときに、|λ|・||K|| < 1 の条件が満たされるならば、上記の積分方程式の解 u が一意的に存在し、ノイマン級数によって、

と表すことができる。

 参考文献 
 藤田宏、伊藤清三、 黒田成俊 『関数解析 (岩波基礎数学選書)』岩波書店（1991）ISBN 978-4000078108
 黒田成俊 『関数解析(共立数学講座 (15))』 共立出版（1980）ISBN 978-4320011069

 関連項目 
 関数解析学 - 線形作用素
 反復法 (数値計算)

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