モーメント (確率論)

確率論や統計学におけるモーメント（）または積率（せきりつ）とは、確率変数のべき乗に対する期待値で与えられる特性値。

 定義と性質 
 を確率変数、 を定数としたときに、 に関する次モーメント (-th order moment) は次で定義される。

ここで、⟨…⟩ は期待値を取る操作を表す。

 が離散型の場合は、

ここで  は確率変数  の実現値である。

 が連続型の場合は、

ここで  は確率変数  の確率密度関数である。

特に  の場合に、モーメントは  と記される。

期待値  は 1次のモーメント  に等しい。分散  は これと2次のモーメント、つまり  を用いて表すことができる。すなわち、

 に関する  次モーメントを  で表し、 次の中心モーメント (-th order center moment)、または 次の中心化モーメントという。

ここで、2次の中心モーメント  は分散と一致する。

一般の確率分布において、モーメントは必ずしも有限値として存在するとは限らない。実際、コーシー分布

において、モーメントは全て無限大に発散するコーシー分布の特性関数

は、 において解析的ではなく、このことからもモーメントが存在しないことが分かる。。

 積率母関数による表示 
確率変数  の積率母関数を次の式で定義する：

その級数表示

においては、 の  次の項の係数部分に  次のモーメント  が現れる。この関係からモーメントは、モーメント母関数の導関数によって、次のように与えることができる。

 特性関数による表示 
確率変数Xに対する特性関数を次のように定義する：

特性関数についても、その級数表示において、 次のモーメントは  の  次の項の係数に現れる。

この関係からモーメントは、特性関数の導関数によって、次のように与えることができる。

 キュムラントとの関係 
 次のキュムラントは、 次以下のモーメントで表すことができる。

逆に、 次のモーメントは、 次以下のキュムラントで表すことができる。

 例 
 ポアソン分布 
確率質量関数が

で与えられるポアソン分布において、モーメントは次のように与えられる。

 正規分布 
確率密度関数が

で与えられる正規分布において、 次の中心モーメントは  が奇数のときは  で、偶数のときのみ  でない値をとる。

 は二重階乗。

 脚注 

 参考文献 
添田喬、太田光雄、大松繁『数理統計の基礎と応用』日新出版 (2000),　ISBN 978-4817301079

 関連項目 
モーメント (数学)（より一般的なモーメントの定義）
階乗モーメント（特に非負整数値の確率変数で重宝する）

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