ボホナー積分

数学におけるボホナー積分（ボホナーせきぶん、）は、サロモン・ボホナーに名を因む、（単函数の積分の極限としての）ルベーグ積分のバナッハ空間に値をとる函数への拡張である。

 定義 
(X, Σ, μ) を測度空間、B をバナッハ空間とする。ボホナー積分はルベーグ積分とほとんど同じ方法で定義される。X 上の B-値単函数 s は、完全加法族 Σ の互いに交わらない元の族 Ei と B の相異なる元 bi を使って

なる形の和に表される。ただし、χE は集合 E の指示函数である。単函数 s をこの形に書くとき, bi が 0 でないような i では必ず μ(Ei) が有限値となるならば、この単函数 s は可積分であるといい、その積分を

で定義することは通常のルベーグ積分と全く同じである。

可測函数 ƒ: X → B がボホナー可積分であるとは、可積分な単函数列 sn で

を満たすようなものが存在するときに言う。ここで左辺の積分は通常のルベーグ積分である。

このとき、ボホナー積分は

と定義される。可測函数がボホナー可積分であるための必要十分条件は、それがボホナー空間 L1 に属することである。

 性質 
ルベーグ積分についてよく知られた性質の多くは、ボホナー積分に対しても引き続き成立する。おそらく最も著しい例はボホナーの可積分判定条件で、これは (X, Σ, μ) が有限測度空間ならばボホナー可測函数 ƒ: X → B がボホナー可積分であるための必要十分条件が

であることを述べるものである。ただし、函数 ƒ: X → B がボホナー可測であるとは、B の可分部分空間 B0 に値をとる函数 g で、B の任意の開集合 U の逆像 g−1(U) が Σ に属するようなものを用いて、μ に関してほとんど至る所 f = g となるときにいう。つまり、ボホナー可測函数 ƒ は μ に関して殆ど至る所単函数列の極限になっている。

ボホナー積分に対しても優収斂定理の一種が成り立つ。具体的には、ƒn: X → B が完備測度空間上の可測函数列でほとんど至る所 ƒ に収斂し、ほとんど全ての x ∈ X で ‖fn(x)‖B ≤ g(x) を満たす g ∈ L1(μ)が存在するならば、n → ∞ とする極限で

および、任意の E ∈ Σ に対して

が成立する。

ƒ がボホナー可積分ならば不等式

が任意の E ∈ Σ に対して成立する。特に集合函数

は μ に関して絶対連続な X 上の可算加法的 B-値ベクトル測度を定める。

 ラドン–ニコディム性 
ボホナー積分に関してラドン–ニコディムの定理が一般には成立しないという重要な事実がある。これはバナッハ空間のラドン–ニコディム性として知られる重要な性質である。具体的に、 を可測空間  上の測度とすると、 が  に関するラドン–ニコディム性を持つとは、 上の  に値をとる任意の有界変動かつ -絶対連続な可算加法的ベクトル測度  に対して、-可積分函数  で  を任意の可測集合  に対して満たすものが存在することをいうThe Radon-Nikodym Theorem for Reflexive Banach Spaces, Diómedes Bárcenas, Divulgaciones Matemáticas Vol. 11 No. 1(2003), (pp. 55–59), pp. 55-56。

バナッハ空間  がラドン–ニコディム性を持つとは、 が任意の有限測度に関してラドン–ニコディム性を持つときに言う。 はラドン–ニコディム性を持ち、 や  の有界開領域  に対する ,  および  はラドン＝ニコディム性を持たないことが知られている。ラドン–ニコディム性を持つ空間には、可分な双対空間（ダンフォード–ペティスの定理）や回帰的バナッハ空間（特にヒルベルト空間）などがある。

 関連項目 
 ボホナー空間
 ペティス積分
 ベクトル測度

 脚注 

 参考文献 


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