ジェネリックフィルター

数学の集合論における、ジェネリックフィルター
とは、強制法の理論で使われる対象の一種で、
そのテクニックはいろんな目的に使われるが、特に、何かしらの命題の
ZFCのような形式的な理論からの独立性を示すのに使われる。

例えば、ポール・コーエンはZFCが無矛盾であれば
連続体仮説(実数全体の集合の濃度が  である)
を証明することができないということを示すのに使った。
コーエンの証明は、 の値を変えることなしに、
 より多くの実数を生成する
ジェネリックフィルターを構成することによって為された。

形式的には、P を半順序として、F を P 上のフィルターとする。
すなわち、F は P の部分集合で、

F は空でない
p,q∈P で、 p≤q で、 p が F の要素なら、q もF の要素(F は上に閉じている)
p と q が Fの要素なら、Fの要素rで、r≤p かつ r≤q となるものが存在する。(F の任意の二要素は両立 する。)

を満たす。

D を P の稠密部分集合の族とする。
フィルターF が D-ジェネリック であるとは、F が Dの要素の全てと交わりを持つこと、
すなわち、
 for all E ∈ D
となることである。

同様に、M がZFCの推移モデル(または、十分なフラグメント)で、
P が M の要素であるとき、F が  M上ジェネリックであるとは、
D を P の稠密開部分集合とすると、
 for all D ∈ M
となることである。

 脚注 

 参考 
 K. Ciesielski, Set Theory for the Working Mathematician, London Mathematical Society

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