重力インスタントン

重力インスタントン（じゅうりょく - ）とは、以下の3つの性質を持つ4次元リーマン多様体のことである。
 リッチ平坦
 自己双対（self-dual）なリーマン曲率テンソルをもつ
 無限遠で局所的に平坦（asymptotically locally flat）である

（しかし実は、2. ならば 1. が言える。）

あるいは、もっと広い意味で、3. を満たしリッチ曲率が計量に比例している（いわゆる宇宙定数がある）ものを言う。

ヤン・ミルズ理論のインスタントンとの類似から、そう呼ばれる。ALE（）空間とも呼ばれる。

性質
（4次元）重力インスタントンは次の3つの言い方ができる。

 リーマンの曲率テンソルが自己双対
 リッチ平坦かつケーラー多様体（= カラビ・ヤウ多様体）
 超ケーラー多様体

高次元にいくと、これら3つはすべて異なる条件になる。

例
重力インスタントンは3次元球面の左不変な1-形式をσi (i = 1, 2, 3) を用いて書くのが便利であり、それらはオイラー角を用いて、

のように表される。

ユークリッド化されたターブ・ナット（Euclidean Taub-NUT）計量
ユークリッド化されたは

によって与えられる。

江口・ハンソン（Eguchi-Hanson）計量
は

のように表現される。ここで、座標の範囲は r ≥ a1/4 である。

この計量がいたるところ滑らか、つまりregularな計量であるためには、r → a1/4, θ= 0, π のところで錐特異点（）がないことである。この条件はパラメーター a がゼロかそうでないかで場合分けされ、
 a = 0 のとき座標 ψ の周期が 4π
 a ≠ 0 のときは座標 ψ の周期が 2π
とならなければならない。

別の座標系を用いて、

と表現されることもある。ここで、

である。

ギボンズ・ホーキング（Gibbons-Hawking）計量

Gibbons, G. W.; Hawking, S. W., Gravitational Multi-instantons. Phys. Lett. B 78 (1978), no. 4, 430–432; see also Classification of gravitational instanton symmetries. Comm. Math. Phys. 66 (1979), no. 3, 291–310.は

と定義され、ここに、

である。 は、多重ターブ・ナッツ計量に対応し、 で  では平坦空間であり、 で  では、（異なる座標で）江口・ハンソン解である。

出典

参考文献

 Eguchi, Tohru; Hanson, Andrew J., Asymptotically flat selfdual solutions to Euclidean gravity. Phys. Lett. B 74 (1978), no. 3, 249–251; see also Self-dual solutions to Euclidean Gravity. Ann. Physics 120 (1979), no. 1, 82–106 and Gravitational instantons. Gen. Relativity Gravitation 11 (1979), no. 5, 315–320.

Category:リーマン幾何学