古典ハイゼンベルク模型

古典ハイゼンベルク模型（こてんハイゼンベルクもけい、, 古典ハイゼンベルクモデル）とは、統計力学に登場するモデル（模型）の一つで、強磁性やその他の現象を説明するために用いられる。n ベクトル模型の n = 3 の場合に相当する。

定義
このモデルは次のように定式化される。d 次元の格子を用意し、単位長を持つ3成分スピンベクトル

を各格子点に一つずつ配置する。

この系のハミルトニアンは次のように定義される。

ここで係数

はスピン間の結合係数である。i 番目と j 番目のスピンが隣接していれば J, そうでなければ 0 の値をとる。

性質
ハイゼンベルク模型を記述・解明するための一般的な数学的表現や一般化については、にて解説する。注記すると、連続極限 (continuum limit) において (2) 式は次の運動方程式を与える。

この方程式は連続古典ハイゼンベルク強磁性体方程式 (continuous classical Heisenberg ferromagnet equation) あるいは短くハイゼンベルク模型と呼ばれており、ソリトンにおいて可積分である。ランダウ＝リフシッツ方程式やなどのように、いくつかの可積分あるいは非可積分な一般化が可能である。

1次元
長距離相互作用  の場合、 であれば、熱力学極限は well defined である。 であれば、磁性は 0 のままである。しかし、（赤外境界）であれば、充分低い温度で磁性は正となる。

短距離相互作用の場合、外場が 0 であれば、自由境界を持つ最近接相互作用のn-ベクトルモデル(n-vector model)の一種であり、単純な厳密解が存在する。

2次元
長距離相互作用  の場合、 であれば、熱力学極限は well defined である。 であれば、磁性は 0 のままである。しかし、（赤外境界）であれば、十分低い温度で磁性は正となる。

 ポリヤコフは、古典XYモデルの反対として、任意の  に対し(dipole phase)は存在しないと予想した。つまり、温度が零でないとき、相関函数は指数函数的に密集する。

3次元とそれ以上の次元
相互作用のレンジとは独立に、十分低い温度で、磁性は正となる。

低温の臨界状態では、相関函数が切り取られて、代数的になることが予想されている。

 参考文献 



 関連項目 

 イジング模型
 XY模型

 磁性
 強磁性
 ランダウ＝リフシッツ方程式


 外部リンク 
 Absence of Ferromagnetism or Antiferromagnetism in One- or Two-Dimensional Isotropic Heisenberg Models
  The Heisenberg Model - a Bibliography
  Monte-Carlo simulation of the Heisenberg, XY and Ising models with 3D graphics (requires WebGL compatible browser)

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