レンズ空間

数学におけるレンズ空間（レンズくうかん、）とは、位相空間の一種である。しばしばの特定のクラスを指す言葉として用いられるが、一般にもっと高次元のレンズ空間も定義することができる。

3次元多様体の場合、レンズ空間は二つのソリッドトーラスをその境界で貼り合わせることで得られる空間として特徴付けられる。これは、3次元多様体が（種数 1）を持つことと同値である。後述する定義のパラメータにおいて、L(1; 0) は3次元球面 S3 に、L(0; 1) は S2 × S1 にそれぞれ対応する。文献によっては、これら自明な場合を除外して定義することもある。

3次元レンズ空間 L(p; q) は、1908年にによって導入された。レンズ空間は、基本群やホモロジー群といった古典的な不変量だけでは分類できない多様体の代表的な例であり、そして同相型 (homeomorphism type) がそのホモトピー型から決まらない閉多様体の最も簡単な例である。1919年、は、L(5; 1) と L(5; 2) が（基本群とホモロジー群が同型であるにもかかわらず）互いに同相ではないことを示し、同相型がホモトピー型から決まらない閉多様体の存在を証明した。

この分類を達成するために導入されたライデマイスター・トーション（あるいは）の研究は、代数的位相幾何学から派生した幾何学的位相幾何学の発展における重要な転換点となった。

 定義 

3次元レンズ空間  は  の -作用による商空間である。以下でより正確な定義を述べる。
 と  を互いに素な整数とし、 内の単位球として  を考える。
このとき,

で生成される 上の-作用は自由である。
この作用による  の 商空間 を レンズ空間  と定める。

この定義はより高次元のものに一般化できる。を2以上の整数、 を、各  と  が互いに素であるような整数とし、
 内の単位球として  を考える。
 で生成される自由 -作用による  の商空間を、レンズ空間  と定める。
のとき、 が成り立つ。

 レンズ空間の古典的位相不変量 
レンズ空間  の基本群は常に  であり、 の値に依らない。特に、
 の基本群は  である。また、ホモロジー群に関してはポアンカレ双対定理と普遍係数定理を用いることで次のように計算され、こちらもの値に依らないことがわかる:

後ほど分かるように、レンズ空間の同相分類やホモトピー分類には も関係するので、基本群やホモロジーではレンズ空間の分類はできない。

 レンズ空間の分類 
レンズ空間の同相分類は次が知られている： レンズ空間  と  が同相であるための必要十分条件は、 となることである。一方で、ホモトピー分類に関しては次が知られている： レンズ空間  と  がホモトピー同値であるための必要十分条件は、ある整数  が存在して  となることである。
このことから、ホモトピー同値だが同相ではないレンズ空間の組が存在することが分かる。例えば、 と  はホモトピー同値である (だから) が、同相ではない。

 関連項目 
 デーン手術

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