ルーシェの定理

ルーシェの定理 (、)は、フランスの数学者であるウジェーヌ・ルーシェが1862年に発表した複素解析における定理であり、留数定理および偏角の原理と密接な関係がある。

定理の主張は、直観的にはやや意味がわかりにくいが、応用面ではかなり強力なツールであり、代数学の基本定理の証明もかなり簡単にできてしまう(後述)。

 定理 
 を複素平面（ガウス平面）のある単連結な開集合（領域）、 をその境界 （ただし、連続曲線であるなど、十分に良い性質を持つものとする）、 を  の閉包 （= ） とし、 および  を 上で定数でない正則な複素関数で、上で、 を満たすとすれば、  内での  と  の零点の個数 （ただし位数nの零点はn個として数える）は一致する。

 証明 
 上では、 という条件から、 であり、

と書くことができる。
 および  は  で極を持たないので偏角の原理 から  の  内における零点の個数をnとすれば、

である。

ここで  を、 で定義する。前述のように 上では  であり、 および  は  上で正則であるから、 は  上で正則である。従って  による  の像を  とすれば、  も (連続曲線であるなど) 十分に良い性質を持った曲線である。

上の式の右辺第2項の積分を考えれば、

である。結局この式の値は  を  上のある点を始点として  に沿って一周した場合の増分になるが、 上では  という条件から  上では  は正であり、  は  の分岐点である  を一周しないので、その値は 0 である。従って、

が成り立ち、定理の主張のとおりとなる。

 応用例 
 代数学の基本定理の証明 

を最高次数の係数が 1 の任意の n 次複素数係数多項式とした場合、 が複素平面上で n 個の零点を持つことを証明する。

 を正の実数とし、 と置く。また、

と置く。 を十分大きく取れば  上で  が成立するので、  内における  と   (=  ) の零点の個数は一致し、  の形から明らかなように、その値は n となる。

関連項目
 リーマンの写像定理

 参考文献 
 遠木幸成・阪井章　『関数論』　学術図書出版社、1966年、82-83頁。
 松田哲　『複素関数』　岩波書店、1996年、110-111頁。

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