ベータ関数

数学におけるベータ関数（ベータかんすう、）とは、特殊関数のひとつである。ベータ関数は、第一種オイラー積分とも呼ばれる（なお、ベータ関数と深い関わりをもつガンマ関数は、第二種オイラー積分と呼ばれる）。

一般化された関数として、セルバーグ積分がある。

 定義 
,  を満たす複素数 ,  に対して、ベータ関数は次式で定義される:

 性質 
 対称性 
ベータ関数は次のような対称性を持つ。

 証明 
置換積分による計算を行う。 とおくと、 であり、また積分区間は  から  へと変化するから、

したがって、 が示された。

 関数等式 
ベータ関数は次の関係式を満たす。

 積分表示 
変数変換を行うことで、以下の形にも表示できる。いずれも、定義域は 、 である。

 ポッホハマーの表示 
 のリーマン面上の積分路として、実軸上の  内の点から出発し、 を正の向きに、 を正の向きに、 を負の向きに、 を負の向きの順で回って、元の点に戻るを取れば、次のポッホハマーの表示が成り立つ。

 ガンマ関数との関係 
ベータ関数は、次のようにガンマ関数と結び付く。

 級数表示 

ただし、 は下降階乗冪:

である。

 無限乗積表示 

 評価 
スターリングの公式より、複素数、 の実部が十分大きな正の値であるとき、

一方、 が十分大きく  が固定されているとき、

 特殊値 
複素数  に対して、以下が成り立つ。

特に、

非負の整数 、 に対して、以下が成り立つ。

参考文献
 E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press 1927.

 関連項目 

 オイラー積分
 ガンマ関数
 ガンマ分布
 二項係数
 不完全ベータ関数
 ベータ分布

 外部リンク 

ベータ関数とは？ ～ 性質と公式 ～ - 数理アラカルト
ベータ関数とは～定義と性質8つとその証明～ - 数学の景色
ガンマ関数とベータ関数の関係式とその証明 - 数学の景色

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