ユニタリ群

n 次のユニタリ群(ユニタリぐん、) U(n) とは、n 次ユニタリ行列のなす群のことである。演算は行列の積で与えられる。

ユニタリ群は一般線型群の部分群である。

 定義 
 複素数体上のユニタリ群 

ここで GL(n, C) は一般線型群、〈-, -〉はエルミート形式、†はエルミート共役である。

つまりユニタリ群の元は有限次複素線型空間のエルミート形式を―したがってノルムを―保つ。これは「絶対値が 1 の複素数」の線型変換における類似物であるFinite-Dimensional Vector Spaces (Paul R. Halmos) §59。

 一般の体上のユニタリ群 
ユニタリ群は一般の体上では次のように定義される。
基礎体 K の2次拡大体 L をとる。
線型空間 V = Ln 上のエルミート形式

（ここで  は代数共役を表す）
を不変に保つ V 上の線型自己同型写像のなす群を U(n, K, L) と表し、これをユニタリ群という。

 例 
4元体を F4 = {0, 1, ω, ω2} とする。
ただし演算は関係式 ω2 + ω + 1 = 0 から定める。このとき U(2, F2, F4) は位数18の群で次の2元から生成される。

 性質 
複素数体上のユニタリ群は以下の性質を満たす。
 最も単純な n = 1 の U(1) は巡回群に対応し、絶対値が1の複素数からなる。全てのユニタリ群は U(1) のコピーを含む。
 ユニタリ群 U(n) は次元 n2 の実リー群である。
 U(n) のリー代数は n 次歪エルミート行列からなり、その括弧積は交換子で与えられる。

 関連項目 
 特殊ユニタリ群
 リー群

 脚注 

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