カルノーの定理 (幾何学)

カルノーの定理は、フランスの数学者ラザール・カルノーに由来する、初等平面幾何学における定理である。

 定理 
任意の三角形 ABC において、外接円の中心 D と3辺との符号付き距離の和は、外接円の半径 R と内接円の半径 r の和に等しい。すなわち、右図において、

が成立することを主張するものである。ただし、三角形の各辺への垂線 DX (X = F, G, H) が当該三角形の外側に完全に出てしまう場合に限り、符号付き距離の符号を負にとるものとする。

 応用 
カルノーの定理は、三上義夫、林鶴一によって紹介されたとされる、日本の定理の証明に使用される。

 幾何学におけるもう一つの「カルノーの定理」 
幾何学において“カルノーの定理”と呼ばれる定理としては、上記のほかに、シムソンの定理の一般的な場合として、任意の三角形の外接円上の点から、当該三角形の各辺へ同じ向きに同じ角をなす直線を引いたときの3辺との交点が一直線上にあることを主張する定理がある。

 参考文献 
 上垣渉 (2001): Japanese Theoremの起源と歴史, 三重大学教育学部研究紀要. 自然科学, 52, 23-45
 矢野健太郎 (1981): 『幾何の有名な定理』, 数学ワンポイント双書, 共立出版, ISBN 9784320010765

 関連項目 
 カルノーの定理 (熱力学): ラザール・カルノーの子息であるニコラ・レオナール・サディ・カルノーの名に因む、熱機関の最大効率に関する定理

 外部リンク 

 Carnot's Theorem at cut-the-knot
 Yet another Carnot's Theorem with multiple applications at cut-the-knot
 Carnot's Theorem by Chris Boucher.  The Wolfram Demonstrations Project

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