レイノルズの輸送定理

レイノルズの輸送定理（レイノルズのゆそうていり）は、主に連続体力学で用いられる定理で、変形形状上の積分で表される物理量の物質時間導関数（物質時間微分）について成立する次の式のことである：

 概要 
物質点に付随する物理量の変形形状における総量は、以下に示す体積積分で求められる：

ここで、は、時刻における注目する物質点の物質量である。は、スカラー値、ベクトル値、テンソル値のどれであっても以後の議論は成立する。

今、上記に示した総量の時間変化率を考える。これは、物質時間導関数（物質時間微分）を用いて次のように表される：

上の式では被積分関数であるに加えて、積分領域も時間とともに変化する。そのため、単純に積分と微分の順番を変えることができない。しかし、物質点の速度を用いての変形も考慮すれば、微分を積分の中に入れることができる。それを表すのがレイノルズの輸送定理である。

 導出 
基準形状(変形なし形状)における座標と写像によって、変形形状における座標を表す。

上記の変換に伴って、積分領域を変形形状から基準形状(変形なし形状)に、積分変数をからに変換する。

ここで、基準形状(変形なし形状)κ0 における微小体積dV と、変形形状κt における微小体積dv には体積変化率J を用いて次の関係が成り立つことを利用した。

新しい積分領域である基準形状(変形なし形状)κ0 は時間に無関係な一定の領域となるので、体積変化率J が時間によって変化することに注意すると、微分を積分の中に入れることができ、次のように変形できる。

この式は

であることを利用すると、次のように整理される：

今度は、逆の変換に伴って、積分領域を基準形状(変形なし形状)κ0 から変形形状κt に、積分変数をdV からdv に変換する。

結局、元の式と比較すると次の関係が成り立つ。

 例 
連続の方程式は、物理量として密度ρを輸送定理に代入して導かれる。

 参考文献 


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