ハンケル変換

ハンケル変換 (Hankel transform) とは、連続関数に対する積分変換 (en) である。関数 f(r) に対する次数  のハンケル変換は以下で定義される。

ここで Jν は次数 ν (ν ≥ −1/2) のベッセル関数である。そして、基底関数の直交性から、逆ハンケル変換 Fν(k) は以下となることが分かる。

ハンケル変換はドイツの数学者ヘルマン・ハンケルにより提案され、フーリエ・ベッセル変換と呼ばれることもある。無限区間におけるフーリエ変換と有限区間のフーリエ級数の関係と同様の関係が、ハンケル変換とフーリエ・ベッセル変換の間にもあると言える。

定義域
関数 f(r) のハンケル変換が定義されるのは、f(r) が連続で区間 (0, ∞) で定義されているか、区分的に連続で (0, ∞) 内のどの小区間でも有限であり、かつ積分

が有限であるときである。

しかしフーリエ変換と同様に、たとえば  のような、上の積分が有限でないような関数にも拡張できるが、ここでは触れない。

基底関数の直交性
ベッセル関数を使うことで、重み因子 r に関して直交基底 (en) を作ることができる。

ここで k と k はどちらも 0 より大きい。

プランシュレルの定理とパーセバルの定理

関数 f(r) と g(r) のハンケル変換 Fν(k) と Gν(k) が定義できるとき、プランシュレルの定理 (en) により以下が成り立つ。

プランシュレルの定理の特別な場合がパーセバルの定理であり、以下で示される。

これらのことは、基底の直交性から導かれる。

他の積分変換との関連
フーリエ変換との関連
零次のハンケル変換は、回転対称な関数の二次元フーリエ変換と同じである。

動径ベクトル r の二次元関数 f(r) のフーリエ変換は以下のようになる。

ここで極座標系 (r, θ) を考え、ベクトル k が θ = 0 の軸上の値を取るとすると、上のフーリエ変換は以下のように書ける。

ここで θ はベクトル k と r''' の間にある角度である。関数 f が回転対称であれば、角度 θ に依存しなくなり、 f(r) と書ける。θ に関して積分すると、フーリエ変換は以下のようになる。

これが関数 f(r) の零次のハンケル変換である。

フーリエ変換、アーベル変換との関連
ハンケル変換は、FHA サイクル (en) と呼ばれる積分演算のうちの一つである。二次元変換では、A をアーベル変換 (en)、F をフーリエ変換、H を零次のハンケル変換のそれぞれ演算子とすると、投影断層定理 (en) の特別な場合として回転対称な関数については以下のようになる。

つまりある関数にアーベル変換を1次元関数に適用し、その結果にフーリエ変換を適用することと、その関数にハンケル変換を適用することは、等価である。これは多次元に拡張できる。

変換表 
 for m odd
 for m even
 は第2種変形ベッセル関数である。表中の

は、球対称な関数  に極座標系  におけるラプラス演算子 (en) を適用することを意味する。

 参考文献 
 Gaskill, Jack D., "Linear Systems, Fourier Transforms, and Optics", John Wiley & Sons, New York, 1978. ISBN 0-471-29288-5
 Polyanin, A. D. and Manzhirov, A. V., Handbook of Integral Equations'', CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4

 GSL リファレンスマニュアル, 第32章 離散ハンケル変換

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