ポアンカレ群

ポアンカレ群（ポアンカレぐん、）とは、ポアンカレ変換の為す変換群。10次元の非コンパクトリー群である。

 ポアンカレ変換 
ポアンカレ変換とは、ミンコフスキー空間における等長変換である。
等長変換においては内積が保存される。

ポアンカレ変換は並進とローレンツ変換からなる。

 座標変換 
ミンコフスキー空間の座標 x に対する並進とローレンツ変換は以下のようになる。
 並進

 ローレンツ変換

ここで、a, Λ は変換のパラメータである。

 生成子 
並進の生成子 P は運動量、ローレンツ変換の生成子 M は角運動量である。
ミンコフスキー空間上の関数（スカラー場）φ(x) を考えると

となる。
 ユニタリ表現 
相対論的場の量子論ではポアンカレ変換によって状態ベクトルが変換を受ける。S系での状態ベクトルを、とし、系での状態ベクトルを、とすると、という関係で結ばれる。ここで、はポアンカレ変換のユニタリ表現である。

 ポアンカレ代数 
ポアンカレ代数とはポアンカレ群のリー代数で、次の交換関係をみたす。

 脚注 

 関連項目 
 ネーターの定理
 ポアンカレ対称性の拡張
 超対称性
 共形変換

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