積率母関数

確率論や統計学において、確率変数 X の積率母関数またはモーメント母関数（英: moment-generating function）は、期待値が存在するならば次の式で定義される。

積率母関数がそのように呼ばれるのは、t = 0 の周囲の開区間上でそれが存在する場合、それが確率分布のモーメントの母関数であるからである。

積率母関数がそのような区間について定義される場合、それにより確率分布が一意に決定される。

積率母関数で重要なことは、積分が収束しない場合、積率（モーメント）と積率母関数が存在しない可能性がある点である。これとは対照的に特性関数は常に存在するため、そちらを代わりに使うこともある。

より一般化すると、n-次元の確率変数ベクトル(ベクトル値確率変数)  の場合、 の代わりに  を使い、次のように定義する。

 計算 
積率母関数はリーマン＝スティルチェス積分で次のように与えられる。

ここで F は累積分布関数である。

X が連続な確率密度関数 f(X) を持つ場合、 は f(x) の両側ラプラス変換である。

ここで、 は i番目のモーメントである。

 2つの独立確率変数の和 
2つの独立な確率変数の和の積率母関数は次のようになる。

 独立確率変数の総和(一般化) 
X1, X2, ..., Xn が一連の独立確率変数で（分布が同一である必要は無い）、

としたとき（ai は定数）、Sn の確率密度関数はそれぞれの Xi の確率密度関数の畳み込みとなり、Sn の積率母関数は次のようになる。

 他の関数との関係 
積率母関数に関連して、確率論にはいくつかの変換が存在する。
 特性関数
 特性関数  と積率母関数は  という関係にある。すなわち、特性関数は iX の積率母関数であり、X の積率母関数を虚数軸で評価したものである。
 キュムラント母関数
 キュムラント母関数は積率母関数の対数として定義される。特性関数の対数をキュムラント母関数とする場合もあるが、通常そちらは「第2」キュムラント母関数と呼ぶ。
 確率母関数
 確率母関数は  で定義される。したがって、 である。

 具体例 
 分布 積率母関数  二項分布     コーシー分布  存在しないAllan Gut: Probability: A Graduate Course. Springer-Verlag, 2012, ISBN 978-1-4614-4707-8, Chapter 8, Example 8.2.。 指数分布     for  正規分布     ポアソン分布    

 注 

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