ゲルフォント＝シュナイダーの定理

ゲルフォント＝シュナイダーの定理 (ゲルフォント゠シュナイダーのていり、) は、指数関数の値の超越性に関する定理である。1934年に、とによって、それぞれ独立に証明された。

 定理の主張 
を 0, 1 以外の代数的数、β を有理数ではない代数的数としたとき、 は、超越数である。

 系 
 系1
  を 0, 1 以外の代数的数とする。 は、有理数であるか超越数である。

 系2
  を 0 以外の代数的数とする。もし、 が有理数体上線形独立であるならば、 である。

 例 
ゲルフォント゠シュナイダーの定理を用いて、以下の数が超越数であることが示される。

  。()
  。() 
  。これはゲルフォントの定数とよばれる。()
 有理数ではない代数的数  に対する、, ,  。
  が有理数ではない代数的数  に対する、, ,  。
 乗法的独立整数  に対して、 ならば、 が成り立つとき、 は、乗法的独立であるという。である、0, 1 ではない代数的数  に対する、 。

 歴史 
ダフィット・ヒルベルトは、1900年にパリで行われた国際数学者会議において、ヒルベルトの23の問題と呼ばれる23個の問題のうち、として、「a が 0 でも 1 でもない代数的数で、b が代数的無理数であるとき、ab は超越数であるか」を提出した。

その後、1929年に、によって、β が虚二次体の場合に、 が超越数であることを証明し、例えば、 が超越数であることを示した。

その直後、ゲルフォントの方法を元にして、カール・ジーゲルは、β が実二次体の場合に成り立つことを示したが、発表はされなかった。翌年（1930年）、は、ゲルフォントの方法に基づいて、同じ結果を発表した。

1934年に、ゲルフォントとテオドール・シュナイダーがそれぞれ独立に、β が一般の代数的数の場合に成り立つことを証明した。
この結果、ヒルベルトの第7問題が肯定的に証明された。
ヒルベルトは、第7問題は大変難しい問題であり、リーマン予想の方が早く解決するのではないかと思っていたが、10年余りで証明されたことを聞いて、大変驚いたという。

ゲルフォント゠シュナイダーの定理より、2つの代数的数の対数が有理数体上線形独立であれば、代数的数体上線形独立となるが（系2）、この結果を 2以上の対数に拡張したものが、アラン・ベイカーによって、1966年に発表された（ベイカーの定理を参照）。

 脚注 

 関連項目 
 ヒルベルトの23の問題
 ベイカーの定理
 超越数

 参考文献 




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