主値

複素解析において、関数値として複数の複素数を取る多価関数を考えるとき、関数の主値（しゅち、）とはその関数の分枝から取られる値のことである。多価関数の値を主値に限定することで、一価の関数となる。

 必要性 
複素対数関数 log z は、一つの複素数 z を以下を満たす複素数 w に移す関数である。

例えば、 の値を計算しようとすると、以下の方程式を満たす解として w を求めることになる。

オイラーの公式から、 が一つの解であることは明らかであるが、解はそれだけでない。

関数の引数とした点  の複素平面上での位置を考えると、解が複数あることが分かる。 から反時計回りに  ラジアンだけ回転した点が  になるが、ここからさらに  回転すると、また  になる。したがって も  の値であると考えることができ、また  だけでなく、その整数倍を加えたものはすべて、この関数の値と考えることができる。

しかし実数関数の場合と比較すると、これには違和感がある。つまり  の値は一意に定まらない、ということである。log z は、k を任意の整数として

と書ける。k の値は分岐点として知られ、多価関数が一価になる点を決めることになる。

ここで k = 0 に相当する分枝を、この主枝において関数が取る値を主値と呼ぶ。

 一般化 
一般に f(z) が多価関数のとき、f の主値を

と書き表す。これは、f の定義域内の複素数 z について一価の関数となる。

 主な関数の主値 
複素数を取る初等関数は、定義域内で領域によっては多価となる。主値を取るのが簡単な形の関数に分解することで、その主値を決めることができる場合がある。

 対数関数 
対数関数の例は上述したが、その形は

である。ここで  が多価である。この偏角の取りうる範囲を  に限定すれば、その偏角における関数の値を主値として取ることができる。このときの（範囲の限定された）偏角を、大文字を使って  と書く。関数の定義に  の代わりに  を使うことで、対数関数が一価になり、

と書くことができるようになる。

 指数関数 
 を複素数（）とするときの指数  について考えるとき、一般には zα を eα log z として定義する。ここで Log でなく log を使うと、eα log z は多価関数となる。Log を使えば以下の形で zα の主値を取ることができる。


 平方根 
複素数  の平方根の主値は以下のようになる。

ここで偏角は  の範囲である。

 複素数の偏角 

ラジアンで表される複素数の偏角の主値は、以下のどちらかで定義されることが多い。



逆正接関数をプロットすれば、これらの値を見ることができる。
 atan2： の範囲
 atan： の範囲

関連項目

 分岐点
 多価関数
 価数

 外部リンク 


Category:複素解析
Category:数学に関する記事