特殊関数

特殊関数（とくしゅかんすう、）は、何らかの名前や記法が定着している関数であり、解析学、関数解析学、可積分系、物理学、その他の応用分野でよく使われる関数であることが多い時弘哲治、工学における特殊関数、共立出版。。

何が特殊関数であるかのはっきりした定義は存在しないが、しばしば特殊関数として扱われるものには、ガンマ関数、ベータ関数、エアリー関数、ベッセル関数Watson, G. N. (1995). A treatise on the theory of Bessel functions. :en:Cambridge university press.平野鉄太郎. (1963). ベッセル関数入門, 日新出版.、ゼータ関数松本耕二. (2005). リーマンのゼータ関数. 朝倉書店.荒川恒男, 伊吹山知義, & 金子昌信. (2001). ベルヌーイ数とゼータ関数. 牧野書店.、楕円関数梅村浩. (2000). 楕円関数論: 楕円曲線の解析学, 東京大学出版会.戸田盛和. (2001). 楕円関数入門, 日本評論社.、ルジャンドル関数、誤差関数、超幾何関数原岡喜重. (2002). 超幾何関数. 朝倉書店.木村弘信: 超幾何関数入門——特殊関数への統一的視点からのアプローチ——, サイエンス社, 2007年.Aomoto, K., Kita, M., Kohno, T., & Iohara, K. (2011). Theory of hypergeometric functions. Tokyo: Springer.

、直交多項式青本和彦: 直交多項式入門, 数学書房, 2013 年.Koekoek, R., & Swarttouw, R. F. (1996). The Askey-scheme of hypergeometric orthogonal polynomials and its -analogue. arXiv preprint math/9602214.Encyclopedia of Special Functions: The Askey–Bateman Project, Encyclopedia of Special Functions: The Askey–Bateman Project, Volume 1: Univariate Orthogonal Polynomials, Edited by Mourad E. H. Ismail, University of Central Florida, Published by :en:Cambridge University Press, March 2020, . (ラゲール多項式、エルミート多項式が有名) などがある。一般には初等関数の対義語ではなく、ある関数が初等関数であって同時に特殊関数とされる場合もある。

 特殊関数の一覧 
特殊関数の多くは、微分方程式の解 (つまり可積分系の厳密解例えばパンルヴェ方程式の厳密解はパンルヴェ超越関数 (:en:Painleve transcendent) という特殊関数になる。) や初等関数の積分 (誤差関数や楕円積分など) として現れる。したがって、積分法の一覧には特殊関数の記述がよく見られ、特殊関数の一覧には最も重要な積分、すなわちその特殊関数の積分形式の表現が含まれていることが多い。

MATLABMATLABにある特殊関数の一覧、MapleMapleにある特殊関数の一覧、MathematicaMathematicaにある特殊関数の一覧などの科学技術計算・数値解析のための言語は、多くの特殊関数を認識する。ただし、そのようなシステムが常に効率的なアルゴリズムで計算（評価）するとは限らない（特に複素平面の場合）。

 特殊関数の記法 
多くの場合、特殊関数には標準的記法があり、関数の名前、添え字（もしあれば）、括弧開き、引数列（コンマで区切る）、括弧閉じの順に記述する。このような記法を使うことで解釈が容易になり、曖昧さを排除できる。国際的に記法が確立している関数としては、sin、cos、exp、erf、erfc などがある神保道夫、複素関数入門、岩波書店。。

場合によっては1つの特殊関数が複数の名前を持つこともある。自然対数には Log、log、ln などの記法があり、文脈によって使い分けられる。例えば正接関数は Tan、tan、tg（ロシア語の書籍に多いロシアでの微積分の用語、Researchmapより、例えばロシア語版wikipediaにある三角関数の記事を参照）などの記法がある。逆正接関数は atan、arctg、tan−1 などの記法がある。ベッセル関数は Jn(x) と記されることが多いが、besselj(n,x) や BesselJ[n,x] も同じ関数を意味している。

引数を示すのに添え字がよく使われる（整数が多い。例えば直交多項式、ベッセル関数など）。まれにセミコロン (;) やバックスラッシュ () を分離文字として使うこともある。このような場合、論理的に解釈する際に曖昧さが生じ、混乱することがある。

肩文字はべき乗を示すだけでなく、関数の修飾を意味することがある。例えば、次のような例がある。

 cos3(x) は (cos(x))3 を意味する。
 cos2(x) は (cos(x))2 を意味するのが普通で、cos(cos(x)) と解釈することは滅多にない。
 cos−1(x) は arccos(x) を意味するのが普通で、(cos(x))−1 という意味ではない。この例は上の2つの例とは異なるため、ここで混乱することが多い。

 特殊関数の値の評価 
特殊関数は変数が複素数である関数と見なせることが多い。それらは解析的であり、特異点とカットで記述される。微分形式や積分形式が知られており、テイラー級数や漸近展開を持つOlver, F. (1997). Asymptotics and special functions. AK Peters/CRC Press.。さらに、他の特殊関数との関係が知られている場合には、より簡単な関数の組み合わせで表現できる場合がある。関数値の評価にはこれらの様々な表現を使う。最も単純な方法は、テイラー級数による級数展開を打ち切ったものを（展開の中心付近で）用いることであるが、展開された級数の収束が遅い場合がある収束が遅いときには収束加速法を使うことで収束が早くなる場合がある。。有理関数による近似式を使う場合もある。ある区間の中で多項式の値により関数値を近似する場合には打ち切られたテイラー展開を使うよりも最良近似理論に基づく近似式や打ち切られたチェビシェフ多項式展開を用いる方が良い。また有理関数近似についても最良有理近似式が使われることがある。

 主な研究者 
 日本 
 三町勝久

 海外 
 ヴォルフガンク・ハーン
 ミザン・ラーマン
 ワリード・アルサラム
 ムーラッド・イスマイルIsmail, M. E., & Zhang, R. (2017). A review of multivariate orthogonal polynomials. Journal of the Egyptian Mathematical Society, 25(2), 91-110.
アメリカ合衆国
 ジョージ・ギャスパーGasper and Rahman, Basic Hypergeometric Series 2nd Edition, :en:Cambridge University Press. (アスキー＝ギャスパー不等式で知られる)
 リチャード・アスキーAndrews, G. E., Askey, R., & Roy, R. (1999). Special functions. :en:Cambridge university press.Askey, Richard; Wilson, James (1985), "Some basic hypergeometric orthogonal polynomials that generalize Jacobi polynomials", Memoirs of the :en:American Mathematical Society, 54 (319): iv+55, doi:10.1090/memo/0319, ISBN 978-0-8218-2321-7, ISSN 0065-9266, MR 0783216Askey-Bateman project (アスキースキーム、アスキー＝ギャスパー不等式で知られる)
 ジョージ・アンドリューズ
イギリス
 ハロルド・エクストン
 ルーシー・ジョアン・スレーター
 フランク・オルバー
 エドマンド・テイラー・ホイッテーカー
 ジョージ・ネビル・ワトソン

 脚注 

 参考文献 
 和書 
以下のリストは不完全なものである。これら以外にも楕円関数、超幾何関数、ベッセル関数、ゼータ関数など主に個別の特殊関数だけを扱って書かれた本も多数ある。
 犬井鉄郎：「特殊函数」、岩波書店 (1962年7月30日)。
 石津武彦:「特殊関数論」、朝倉書店（応用数学力学講座4）(1963年)。
 奥井重彦：「電子通信工学のための 特殊関数とその応用」、森北出版、ISBN 4-627-07460-3 (1997年7月10日)。
 小野寺嘉孝：「物理のための応用数学」、裳華房 、ISBN 978-4-78532031-7 (1988年3月10日)。
 寺沢寛一：「自然科学者のための数学概論」(増訂版)、岩波書店、ISBN 978-4-00-005480-5 (1983年5月18日)。
 森口・宇田川・一松：「数学公式 III 特殊関数」、岩波書店。
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 藪下信:「特殊関数とその応用」、森北出版、ISBN 978-4-627-00400-9（1975年12月1日）。
 戸田盛和：「特殊関数」、朝倉書店、ISBN 978-4-25411356-3（1981年12月）。
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 小松勇作：「特殊函数」（復刊）、朝倉書店（近代数学講座5）、ISBN 978-4-254-11655-7（2004年3月15日）。初版は1967年9月15日。
 時弘哲治、「工学における特殊関数」、共立出版、ISBN 978-4-320-01612-5 (2006年6月25日)。
 蓬田清：「演習形式で学ぶ特殊関数・積分変換入門」、共立出版、ISBN 978-4-320-01829-7（2007年1月）。
 木村弘信：「超幾何関数入門：特殊関数への統一的視点からのアプローチ」、サイエンス社（2007年5月25日）。
 一松信：「特殊関数入門」、森北出版、ISBN 978-4-62703829-5 (2008年4月30日)。
 ジョージ ブラウン アルフケン、ハンス J. ウェーバー：「基礎物理数学　第４版Vol.3 特殊関数」、講談社、ISBN 978-4-06153979-2（2001年）.
 伏見康治、赤井逸：「復刊 直交関数系」、共立出版、ISBN 978-4-320-03478-5（2011年6月10日）。 
 半揚稔雄：「つかえる特殊関数入門」、日本評論社、ISBN 978-4-535-78850-3 (2018年9月)。
 数学セミナー編集部(編) :「特殊関数探訪：三角関数からはじめる不思議な世界」、日本評論社、ISBN 978-4-535-79019-3（2024年9月）.

 解説記事 





 洋書 
 Abramowitz and Stegun: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
 NIST Digital Library of Mathematical Functions
 Bateman Manuscript Project
 Askey–Bateman project

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 Mathai, A. M., & Haubold, H. J. (2008): Special functions for applied scientists, New York: Springer.
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 Vol.III: Hypergeometric and Basic Hypergeometric Functions (volume editor Mourad Ismail)", in preparation.
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 Vilenkin, N. Ja & Klimyk, A. U. (1993): Representation of Lie Groups and Special Functions: Volume 2: Class I Representations, Special Functions, and Integral Transforms,:en:Springer Science & Business Media.
 Vilenkin, N. Ja & Klimyk, A. U. (1992): Representation of Lie Groups and Special Functions: Volume 3: Classical and Quantum Groups and Special Functions, :en:Springer Science & Business Media.
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 関数値の数値計算法の文献 
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 D. W. Lozier and F. W. J. Olver: Numerical Evaluation of Special Functions (NIST, Web page)

 関連項目 
 関数一覧
 行列値関数
 超幾何関数
 楕円関数
 直交多項式
 ガンマ関数
 ベータ関数
 エアリー関数
 ベッセル関数
 ゼータ関数
 ルジャンドル関数
 誤差関数
 ラゲール多項式
 エルミート多項式

 外部リンク 
 Special functions at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
 Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-61272-0
 NIST Digital Library of Mathematical Functions


 吉田年雄：「特殊関数の数値計算法」、中部大学工学部紀要、48巻（2012）。
 SIAM Activity Group on Orthogonal Polynomials and Special Functions
  特殊関数 グラフィックスライブラリー Graphics Library of Special functions by Souichiro-Ikebe 

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Category:複素解析
Category:数学に関する記事