正則グラフ

正則グラフ（せいそくグラフ、）は、グラフ理論において、各頂点の隣接する頂点数が全て同じであるようなグラフである。すなわち、全ての頂点の次数が等しい。頂点の次数が k の正則グラフを 「k-正則グラフ」または「次数 k の正則グラフ」と呼ぶ。

次数2までの正則グラフの分類は容易である。0-正則グラフは連結されていない頂点で構成され、1-正則グラフは連結されていない辺で構成され、2-正則グラフは連結されていない閉路で構成される。

3-正則グラフは立方体グラフとも呼ばれる。

正則グラフのうち、隣接する2つの頂点に共通する隣接点が常に同じ l 個で、隣接しない2つの頂点に共通する隣接点が常に同じ n 個となっているものを強正則グラフという。正則だが強正則でない最小のグラフは、6頂点の閉路グラフかつ循環グラフである。

完全グラフ  は任意の  について強正則である。

クリスピン・ナッシュ＝ウィリアムズの定理によれば、2k+1 個の頂点から成る k-正則グラフには必ずハミルトン路がある。

 代数的属性 
あるグラフの隣接行列を A とする。そのグラフが k-正則であることは、ベクトル  が固有値 k に属する A の固有ベクトルであることと同値であるCvetković, D. M.; Doob, M.; and Sachs, H. Spectra of Graphs: Theory and Applications, 3rd rev. enl. ed. New York: Wiley, 1998.。他の固有値に対応した固有ベクトルは  と直交なので、そのような固有ベクトル  について  が成り立つ。

次数 k の正則グラフが連結していることと、固有値 k の重複度が1であることは同値である。

正則な連結グラフの判定基準も存在する。グラフが連結かつ正則であることと、 である行列 J がそのグラフの隣接代数（Aの冪乗の1次結合）にあることは同値である。

グラフGはk-正則グラフで、直径D、隣接行列の固有値群は  とする。Gが2部グラフでないなら、次が成り立つ。

ここで  である。

 生成 
正則グラフを生成するソフトウェアとして GenReg があるRegular Graphs M. Meringer, J. Graph Theory, 1999, 30, 137.。

 脚注 

 関連項目 
 強正則グラフ

 外部リンク 


 GenReg software and data by Markus Meringer.


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