平坦加群

数学において、平坦加群（へいたんかぐん、）とは、テンソル積をとる関手  が完全となる加群  のことである。
ホモロジー代数学および代数幾何学における基本的な概念のひとつ。ジャン＝ピエール・セールによって導入されたただし、彼はなぜ平坦（flat）という語を用いたか覚えていないと言っている。。

 定義 
 を環、 を右  加群とする。
 加群からなる任意の短完全系列

に対して、 とのテンソル積をとった系列

が完全になるとき、 は  上平坦である、または  は平坦  加群であるという。
 が左  加群のときも同様に定義される。

なお一般の加群  に対しては、関手  は右完全ゆえ

は完全系列となるが、左端の射が一般には単射にならない。

 代数  が平坦であるとは、 が  加群として平坦であることをいう。

 性質 
 射影加群は平坦である。特に自由加群も平坦である。
（推移性）  が平坦  代数で、 が平坦  加群ならば、 は  加群としても平坦である。
（係数拡大）  加群  が平坦ならば、任意の  代数  に対し、 加群  も平坦である。
  を環  の積閉集合  による局所化とすると、 は  上平坦である。
（局所性）上より、 の任意の素イデアル  に対し、 は平坦な  加群となる。逆に、任意の  に対し  が  上平坦ならば、 は  上平坦である。
  を  の自明でないイデアルとすると、 が  の形に書ける場合を除き、 加群  は平坦でない。
  加群  が平坦であることと、任意の  加群  に対し  となることとは同値である。

 忠実平坦性 
 は平坦な  加群であるとすると、次に述べる条件は同値である。これらの条件を満たすとき  は忠実平坦な  加群であるという。
  の任意の極大イデアル  に対し、 が成り立つ。
  が完全ならば、 も完全である。
  でない任意の  加群  に対し、 が成り立つ。

 代数  に関しても同様に忠実平坦性を定義する。この場合は次も同値である。
  の任意の素イデアル  に対し、 なる  の素イデアル  が存在する。

 概型論 
スキームの射  が平坦であるとは、 のすべての点  に対し、局所環の射  が平坦であることをいう。環における平坦性が局所的性質であることから、アフィンスキームの間の射の平坦性は対応する環の射の平坦性と同値である。

平坦かつ全射である射は忠実平坦であるという。これもアフィンスキームにおいては環での定義と一致する。

 平坦分解と平坦次元 
環  上の加群  に対し、各 -加群  が平坦加群であるような次の完全列

を  の平坦分解という。自由分解や射影分解は平坦分解である。すべての  に対し  であるような平坦分解を長さ  の平坦分解という。そのような  が存在する場合その最小値を  の平坦次元といい、存在しない場合は平坦次元は  という。平坦次元は  と書かれる。平坦次元は射影次元を超えない。左 -加群  と整数  に対して以下は同値。
 .
 任意の右 -加群  に対して、
 任意の  と任意の右 -加群  に対して、

 脚注 

 参考文献 


 関連項目 
 可換環論、環上の加群
 素イデアル、極大イデアル
 テンソル積
 射影加群、入射加群
 Tor関手
 フォン・ノイマン正則環

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