リー・トロッター積公式

数学において、ソフス・リー (Sophus Lie, 1875) にちなんで名づけられたリーの積公式 () 、あるいはトロッター積公式 (Trotter product formula)とも呼ばれる公式は、任意の実あるいは複素正方行列 ,  に対して、

が成り立つという定理である。ここで  は  の行列指数関数を表す。リー・トロッターの積公式 (Lie–Trotter product formula)  およびトロッター・加藤の定理 (Trotter–Kato theorem)  はこれをある種の非有界線型作用素 ,  に拡張する。

定理
 を同じ次数の任意の実または複素正方行列、 を自然数とするとき、次の式が成立する。 

ここで  は行列指数関数による  の像であり、次の式により定義される。

ただし、（単位行列）である。

また、行列  のノルムは次で定義するものとし、収束はこのノルムによることを意味するものとする。

ただし、 は  の  成分の絶対値、 は  の次元である。係数  は 単位行列  のノルムを 1 にするためのものであり、この係数を省いた定義を用いる文献もある(この係数が無くても、以下の論議で問題は発生しない)。

リー・トロッター積公式は、通常の指数関数における次の規則の拡張である。

この式は、 が任意の実数または複素数の場合に成立する。
後で使うので、この公式の証明を記しておく。

ここで二項定理  を使えば、

従って  と  は一致する。

 を行列  で置き変え、指数関数を行列指数関数で置き変えると、この規則が成立するためには、一般に  と  が可換である必要がある。しかし、リー・トロッター積公式は、 と  が可換でなくても一般に成立する(も参照)。

より一般的には、 を行列に限定せず、任意のノルム空間  上の有限なノルムを持つ線形作用素としても、この公式は成立する。ただし、上記の行列についてのノルムは、次で定義されるノルム空間  上の線形作用素  のノルム  に置き換えるものとする。

この定義では、ノルム空間  上の恒等写像  のノルムは 1 である。

証明で使うので、ノルム  の性質をまとめておく(証明は簡単であるので省略する)。
(1)   かつ 
(2)   をノルム空間 の任意のスカラーとすれば 
(3)  
(4)  
(5)  

これらは、行列のノルムでも成立する。

証明
ノルム空間  上の有限なノルムを持つ線形作用素について証明する。次の2つの補題を用いる。

補題1
 をノルム空間  上の有限なノルムを持つ線形作用素とすると、次の関係が成り立つ。

ただし、 はランダウの記号である。

補題1の証明
ノルム  の性質 (3),(4) から、

上式の右辺の各項は  および  を必ず1個以上は含んでいるので、右辺は  を因数に持つ。従ってランダウの記号の定義から補題の主張のとおりとなる。

補題1の系
自然数  に対して、ある正の実数  が定まり、任意の自然数  に対して、

(証明は、ランダウの記号  の定義による。)

補題2
 を自然数、 を実数とすれば、

(証明略)

定理の証明
線形作用素  の多項式  を次のように定義する。

自然数  に対して、

 であるから 。従って、。また補題1の系から、

以上から、

補題2から  が十分大きければ、

 が大きくなれば、右辺は 0 に漸近するので、ノルムの性質 (1) から定理の主張のとおりとなる。

応用
この公式は、量子力学における経路積分において応用されており、この公式によってシュレーディンガー時間推進作用素 (そのジェネレーターがハミルトニアンである) を、運動エネルギー作用素 (の時間積分断片)とポテンシャルエネルギー作用素 (の時間積分断片) の交互の積の列に分離することが可能になっている。同様のアイデアは微分方程式の数値解法における分割法 (離散化) を構築する上でも使われている。

 脚注 

 参考文献 




 Sophus Lie and Friedrich Engel  (1888, 1890, 1893).  Theorie der Transformationsgruppen (1st edition, Leipzig; 2nd edition, AMS Chelsea Publishing, 1970) ISBN 0828402329
 .
 , pp. 35.

 , pp. 99.

 関連項目 
 リー群
 行列指数関数
 経路積分

 鈴木＝トロッター分解

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