ダランベールの微分方程式

ダランベールの微分方程式（ダランベールのびぶんほうていしき、）とは、

の形をしている一階常微分方程式である。
ここで、f、g はそれぞれ、微分可能実関数で、かつ f(p) ≠ p だとする。
f が恒等写像の場合、(1) はクレローの微分方程式となる。

この方程式は、ラグランジュの微分方程式（）とも呼ばれる。

 解法 

 とおくと、(1) は、

となる。
(2) の両辺を x で微分すると、

である。
p を独立変数、x を p の関数とみなすと、f(p) ≠ p  だから、

となる。
(3) は一階線型常微分方程式だから、定数変化法により一般解が

と求まる。
ここに、C は、積分定数である。

(1) の一般解は、p を助変数として、(2) と (4) により得られる。

なお、α = f(α) を満たす実数 α が存在する場合、y = x f(α) + g(α) が (1) の特異解を与えることがある。

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