垂心

初等幾何学における垂心（すいしん、）は、三角形の3つの頂点から対辺に引いた三本の垂線の交点。

性質
三角形の垂心で交わる３本の頂垂線によって作られる６つの角には、図のように当該三角形の３つの角が２つずつ含まれる。
また、三角形の各辺を頂垂線との交点で分割し、分割後のそれぞれの長さの辺を持つ正方形を作り（６つ）、
図のように時計回りに赤・青・赤・青・赤・青とグループ分けして、赤と青の面積を求めると、両面積は等しくなっている。
3つの頂点を A,B,C、垂心を H、3本の垂線の足を Ha,Hb,Hc とする。
重心・外心と同一直線上にある。この線をオイラー線という。
直角三角形の垂心は、直角となる頂点である。鈍角三角形の垂心は、その三角形の外部にある。
垂心は三角形HaHbHcの内心か傍心となる。
垂心と外心の中点は九点円の中心である。
三角形ABHの垂心は、Cである。

a,b,c は3辺の長さ。α・β・γは3つの角。R は外接円の半径である。
P を外接円上の点とし、M を PH の中点とする。
M は九点円上にある。
P におけるシムソン線は M を通る。
各頂点ABCを通る対辺に対する平行線を3本とも引き、新たな三角形A'B'C'を作る（右図参照）。このとき、三角形ABCの垂心と三角形A'B'C'の外心は一致する。

垂心の座標
座標平面において、3頂点の座標を(xa,ya), (xb,yb), (xc,yc)とすると、垂心の座標は以下のようになる。

3頂点が単位円周上にある場合、以下のように簡単に書くことができる。

重心座標による垂心の座標は tanα:tanβ:tanγ となる。

関連項目
三角形の中心
オイラー線
頂垂線 (三角形)

 外部リンク 




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