シムソンの定理

幾何学におけるシムソンの定理とは、 の外接円上の点  から三角形の各辺  におろした垂線の足  がすべて同一直線上にある（共線関係にある）という定理である。この直線のことをシムソン線（シムソンライン）と呼ぶ。この定理はロバート・シムソンから名づけられた。しかし、最初に1797年にこの概念を出版したのはウィリアム・ウォレスである。

 シムソン線の性質 
 三角形の1つの頂点をPとすると、Pに対するシムソン線はPから対辺に下ろした垂線になる。またPを外接円の中心に対して頂点と対称の位置に取ると、Pに対するシムソン線は辺の1つと一致する。
 Oを外接円の中心、PとP'を外接円上の点とする。Pに対するシムソン線とP'に対するシムソン線が成す角は、POP'の半分に等しい。特にPとP'が直径の両端にあるとき、2本のシムソン線は垂直に交わる。このときの交点は九点円上にある。
 三角形のABCの垂心をHとする。Pに対するシムソン線は、PHの中点を通る。
 共通の外接円を持つ2つの三角形があったとき、Pに対する2本のシムソン線が成す角はPによらず一定の値をとる。
 シムソン線による包絡線はデルトイド（内サイクロイドの一種）となる。このデルトイドをスタイナー（シュタイナー）のデルトイドという。
 三角形の外接円上に点をとる。ポンスレの閉形定理よりこの三角形と、内接円と外接円を共有する三角形は無数に存在するが、これらの三角形におけるのシムソン線は、定点を通る。これをグリーンヒル-ディクソンの定理（Greenhill-Dixon theorem）という。サー・ジョージ・グリーンヒルとA. C. ディクソンの名を冠する。後述の双心多角形におけるシムソン線でも同様に成立する。

 証明 
 初等幾何による証明 
A,B,Cの内の点Pの右回り隣の点をA,左回り隣の点をB,対角点をCとする。
AとBは対角点だから∠PAC+∠CBP=180度。

∠PAC>90度の場合、AとBを入れ替えて∠PAC≦90度とする。
∠PAC=90度の場合,∠CBP=90度,A=M,B=L,Nは直線AB上の点だからL,M,Nは同一直線上にある.
∠PAC<90度とする。

点A,P,N,Mは同一円周上にある。
A,P,B,C はこの順で外接円周上にあるから
直線BAに対してPとCは反対側にある。

∠PAC<90度だから(A→C)と(A→M)の向きが同じになるから
∠PAM=∠PAC…①

直線BAに対してPとMは反対側にある。
Nは直線BA上の点だから
直線NAに対してPとMは反対側にあるから
NとAは四角形APNMの対角点となるから
∠PAM+∠MNP=180度…②

点P,L,B,Nは同一円周上にある。
B,C,A,P はこの順で外接円周上にあるから
直線BAに対してPとCは反対側にある。

∠CBP>90度だから
直線BAに対してLとCは反対側にあるから
直線BAに対してLとPは同じ側にある。

Nは直線BA上の点だから
直線BNに対してLとPは同じ側にあるから
BNは四角形PLBNの対角線でない辺となるから
∠PNL=∠PBL…③

∠CBP>90度だから
(B→L)と(B→C)の向きが180度異なるから∠PBL+∠CBP=180度.
∠PAC+∠CBP=180度だから
∠PBL=∠PAC…④

①,②,③,④から、∠MNP+∠PNL=180度。
したがって、3点L,M,Nは同一直線上にある。Q.E.D.

 複素数による証明 

 一般化 
 一般化1 
と、外心を通る直線、点について、との交点のにおける直交射影は共線である。またと垂心の中点もこの直線上にある。を上に置けば、と一致する。
 一般化2 
外接円錐曲線と、平面上の2点について、直線との第二交点をそれぞれとする。と、との交点延べ4点が共線であることと、が上にあることは同値。
一般化3 
三角形のシムソン線から出発して、帰納的に任意の円内接多角形におけるシムソン線を定義することができる。これは大抵E. M. ラングレーに帰される。特に円に内接する四角形に拡張したものはよく知られる。

円に内接する角形とその外接円上の点について、角形の頂点のうち、個からなる多角形におけるのシムソン線延べ本に、から降ろした垂線の足はすべて共線である。これを角形におけるシムソン線と定義できる。
 一般化4 
円錐曲線上に7点を、がを中心に配景となるように配置する。このときと、と、とのそれぞれの交点とは共線である。を無限遠に置き、を円とすれば、任意角に一般化されたシムソン線を得る。

他にも多くの拡張が知られるF. G.-M., Exercise de Géométrie, Éditions Jacques Gabay, 1991。

 文化 

小津安二郎監督による1936年の映画『一人息子』にこの定理が登場する。日守新一演じる主人公の数学教師・良助が、夜学の生徒にこの定理を説明する。小津作品では他にも『淑女は何を忘れたか』や『父ありき』で数学が描かれる。

 脚注 

 参考文献 

 - 2002年にオンデマンド印刷で復刊。



 関連項目 
垂足三角形
直極点

 外部リンク 

Simson Line: What is it? - Cut The Knot
A Generalization Simson's line,carnot theorem, Collings-Carn- AoPS
 小津安二郎監督『一人息子』（22:16） - インターネット・アーカイブ。シムソンの定理が登場するシーン。

Category:数学に関する記事
Category:初等幾何学
Category:三角形と円に関する定理
Category:数学のエポニム