方べきの定理

方べきの定理（方冪の定理、方羃の定理、方巾の定理「冪/羃」はひらがなで書かれることが多い。また、「巾」は数学者の間では「冪」の略字として用いられている。(詳しくは冪乗を参照されたい)、ほうべきのていり、）は、平面初等幾何学の定理の1つである。

 定理の主張 
（図1、図2）円 O とその円周上にない点 P について、点 P を通る2本の直線 , m がともに円の割線（円との共有点が2個である直線）になっているとしよう。円と  の交点を A, B とし、円と m の交点を C, D とすると、

が成り立つ。

（図3）また、P が円 O の外側にあり、P を通る直線の一方が円 O の接線となる場合にも、円と割線の交点を A, B とし、円と接線の接点を T とすると、

が成り立つ。

 証明 
P が円 O の内側にある場合200px左の図において、同一の弧に対する円周角は互いに等しいから
∠PAC = ∠PDB
∠PCA = ∠PBD
二角相等により
△PAC ∽ △PDB
よって
PA: PC = PD: PB
すなわち
PA ・ PB = PC ・ PDP が円 O の外側にある場合200px左の図において、円に内接する四角形の外角の大きさは、その内対角の大きさに等しいから、
∠PAC = ∠PDB
∠PCA = ∠PBD
二角相等により
△PAC ∽ △PDB
よって
PA: PC = PD: PB
すなわち
PA ・ PB = PC ・ PD直線の一方が接線になる場合200px左の図において、接弦定理により、
∠PTA = ∠PBT
また、共通の角として
∠TPA = ∠BPT
二角相等により
△PAT ∽ △PTB
よって
PA: PT = PT: PB
すなわち
PA ・ PB = PT

 方べきの定理の逆 
方べきの定理は、適当な意味においてその逆が成立することが知られている。

平面上に相異なる4点 A, B, C, D があり、直線 AB と 直線 CD がただ一つの交点 P をもつとする。ここで次の条件を考える。

(1) 
(2-1) P は線分 AB の内部の点であり、線分 CD の内部の点でもある。
(2-2) P は線分 AB の外部の点であり、線分 CD の外部の点でもある。

(1)かつ(2-1)を満たすならば、4点 A, B, C, D を通る円（共円）が存在し、P はこの円の内側にある。

(1)かつ(2-2)を満たすならば、4点 A, B, C, D を通る円が存在し、P はこの円の外側にある。

また、平面上に相異なる3点 A, B, T があり、直線 AB 上に点 P があるとする。ここで次の条件を考える。
(3) 
(4) P は線分 AB の外部の点である。
(5) A, B, T は同一直線上にない。

(3)かつ(4)かつ(5)を満たすならば、3点 A, B, T を通る円（△ABTの外接円）の T における接線は P を通る。

いずれの場合も、もとの定理の証明を逆向きにたどるようにして、三角形の相似を利用して証明することができる。条件(2-1), (2-2), (4), (5)を外すことができないことには注意すべきである。

 方べきの値 

この節では、円をその中心点の名前を借りて円 O のように呼ぶことはせず、独立した記号を与えることとする。

平面上に点 O, P と、O を中心とする円 ω がある。P を通る直線  が ω と1つまたは2つの共有点をもつとし、それを A, B とする（共有点が1つのときは A=B として扱う）。

さて、P と ω が動かずに、 がさまざまに動くとき、A, B はつられてさまざまに動くが、 の値は変化しないことが方べきの定理からわかる。P≠O のとき、直線 OP を考えることにより、

と表すことができる。P=O のときにも、ω の任意の直径を考えることにより、やはり

が成り立つ。

そこで、P と ω のみによって決まる量

を定義すると便利である。この値を、P の ω に関する方べきの値（ほうべきのあたい）または単に方べき（ほうべき、）という。記号には  などが用いられることもある。

方べきの値は、P が ω の外側にあれば正、ω の内側にあれば負、ちょうど ω の上にあればゼロとなる。

学校数学で方べきの値が教えられることは少ない。

平面上の異なる中心をもつ2つの円の根軸は、方べきの値を用いて特徴付けられる。

 脚注 

 参考文献 

 外部リンク 

方べきの定理まとめ（証明・逆の証明） - 理系ラボ
方べきの定理とその逆の証明 - 高校数学マスター

 動画 

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