調和数列

調和数列（ちょうわすうれつ、harmonic sequence または harmonic progression）とは、各項の逆数を取ると等差数列となる数列である。ピタゴラス音律では、ドの弦の長さを  とすると、ソは 、1オクターブ高いドは  の長さになる。各項の逆数はそれぞれ , ,  となり、公差が  の等差数列となる。よって、 は調和数列である。

 一般項と漸化式 
調和数列とは、一般項  が  を初項とし定数  を用いて

と表せる数列  のことである。ここで  は自然数でないとする。このとき、 は初項である。各項は隣接する2項の調和平均になっている（調和中項）。調和数列の極限は  である。例としては、


などが挙げられる。

 番目の項と  番目の項の関係を表す漸化式は

である。

この数列の隣接2項間漸化式は

である。

 調和数列の項の積 
一般項 , 項数  の調和数列  の総乗は

で表される。ここで、  は上昇階乗冪（ から  ずつ増やしながら  までの  個の総乗（階乗の類似物）、 は ガンマ関数を表す。

 調和数列の逆数和 
調和数列は各項の逆数を取ると等差数列になることから、等差数列の関係から調和数列の関係を得ることができる。

一般項 , 項数  の調和数列  の全ての項の逆数和は、次の式で表される。

 調和数列の級数 
調和数列の級数は一般調和級数

になる。これは発散級数である。

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