ラプラス＝スティルチェス変換

ラプラス＝スティルチェス変換（ラプラス＝スティルチェスへんかん、）は、ラプラス変換に類似した変換である。ピエール＝シモン・ラプラスとトーマス・スティルチェスにちなんで命名された。関数解析、基礎および応用確率論を含む多くの数学分野で活用されている。

 定義 
ある関数 g: R→Rに対するラプラス＝スティルチェス変換は、

と定義される。ただし右辺のルベーグ＝スティルチェス積分が存在する必要がある。

しばしばsは実数であり、また正の半直線上でのみ定義される関数（すなわちg: [0,∞) → R）のみ扱うような場合もある。このようなときは、上記の積分は0から∞の範囲となる。

 性質 
ラプラス＝スティルチェス変換は、その性質の多くがラプラス変換と共通である。

たとえば畳み込みについては、2つの写像 g と h についてそれぞれラプラス＝スティルチェス変換が存在するとき、以下の性質が成り立つ。

 応用 
ラプラス＝スティルチェス変換は基礎確率論および応用確率論において、しばしば有用である。たとえば、確率分布 F に従う確率変数 X に対して、ラプラス＝スティルチェス変換は期待値との関連で説明される。

具体的な応用例としては、マルコフ連鎖のような確率過程の初到達時刻()や、再生理論などが挙げられる。物理学においては、たとえば場の量子論での和をゼータ関数正則化の手法によって正則化する際に、ラプラス＝スティルチェス変換が用いられることがある。

 他の変換との関連 
ラプラス＝スティルチェス変換は、他の積分変換（たとえばフーリエ変換やラプラス変換）と密接な関係がある。特に以下の点に注意する。
関数 g が導関数 g' を持つとき、gのラプラス＝スティルチェス変換は g' のラプラス変換に等しい。

関数 g のフーリエ＝スティルチェス変換（これは上記と同様、g' のフーリエ変換と一致する）は以下のように与えられる。

 例 
指数分布に従う確率変数 Y に関するラプラス＝スティルチェス変換は以下の通り。

 参考文献 
ラプラス＝スティルチェス変換に関する、よく知られた文献には以下のようなものがある。
 Apostol, T.M. (1957).  Mathematical Analysis.  Addison-Wesley, Reading, MA.  (For 1974 2nd ed, ISBN 0-201-00288-4).
 Apostol, T.M. (1997). Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, 2nd ed.  Springer-Verlag, New York.  ISBN 0-387-97127-0.

確率論およびその応用との関連では、次の文献が参考になる。
 Grimmett, G.R. and Stirzaker, D.R. (2001).  Probability and Random Processes, 3rd ed.  Oxford University Press, Oxford.  ISBN 0-19-857222-0.

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