右手系

右手系（みぎてけい、）または正系（せいけい、）は、線型代数学における座標系で、右手の法則（right-hand rule）に従うものを指し、左手系と区別される。

右手系・左手系という性質は、直交座標系とは限らない座標系に対しても考えられる。より抽象的には、順序付けられた基底に対して定義される。また、3次元に限らず、2次元以上の任意の次元のユークリッド空間に対しても定義される。

 定義 
n ≥ 2 とする。n 次元ユークリッド空間 Rn において、j 番目の座標が 1 でその他が 0 であるベクトルを、ej と表すこととする。<e1, …, en> は、Rn の標準的な基底である。任意に2通りの基底 A := <a1, …, an> と B := <b1, …, bn> を取ったとき、その間の変換行列は正則行列となる。その行列式が正であるときに A と B は同値であるとして同値関係を定義すると、基底全体の集合はちょうど2つの同値類に類別される。標準的な基底と同値である基底は右手系であるといい、同値でない基底は左手系であるという。

 性質 
 標準的な基底は右手系である。
 <a1, …, an> が右手系であるとき、その中の2つのベクトルの順序を入れ替えたもの、例えば <a2, a1, a3, …, an> は左手系になる。より一般に、n 次対称群の元 σ に対し、<aσ(1), …, aσ(n)> が右手系であることと、σ の符号が +1 であることは同値である。
 基底 A = <a1, …, an> に対し、n 次正方行列 (a1, …, an) の行列式が正ならば A は右手系であり、負ならば左手系である。

 一般のベクトル空間 
V を R 上の n 次元ベクトル空間とする。Rn の場合と同様に、V の基底全体の集合も、2つの同値類に類別される。そのどちらの元を右手系と呼び、どちらの元を左手系と呼ぶべきかは自然には定まらない。同型写像 φ Rn → V をひとつ定めたならば、<φ(e1), …, φ(en)> と同値である基底を右手系と呼ぶことはできる。

 関連項目 
向き
キラリティー
クロス積

 参考文献 
『数学入門辞典』岩波書店、2005年、ISBN 978-4000802093
齋藤正彦『線型代数入門』東京大学出版会、1995年、ISBN 978-4130620017

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