法線ベクトル

法線ベクトル（ほうせんベクトル、）とは、2次元平面においては、曲線上の点における接線に垂直な平面ベクトル、3次元空間においては、曲面上の点における接平面に垂直な空間ベクトルのことである。法線（ほうせん、）とは、接線や接平面に垂直な直線のことである。

曲線（曲面）上の点に対して法線ベクトルは1つに決まらないことに注意する必要がある。そこで中でも単位ベクトル（ノルムが 1）であるものを単位法（線）ベクトル（）というが、それでも2つあることに注意する必要がある。

 3次元での例 
250px|thumb|平面の法線ベクトルの例
曲面の法線ベクトルは、2つの線形独立な接ベクトルの外積として求めることができる。

右図で示した右手系の正規直交座標系において、直方体の一つの面の頂点を A, B, C, D とすると、面 ABCD の法線ベクトル  は、

となる。ここで ×はベクトルの外積を表す。ノルムは線分 AD と線分 BC の長さの積となっている。

線分 AB と線分 DC が x軸に平行で、線分 AD と線分 BC が z軸に平行な場合、

となる。ここで j は y軸方向の単位ベクトルである。

 導出 
平面において、
 曲線  上の点  における法線ベクトル：
 特に、直線  上の点  における法線ベクトル：
 曲線 （ は媒介変数）の  における点の法線ベクトル：

 接空間の法線ベクトルによる表示 
接点と法線ベクトルから、元の接空間を表すことができる。
 接点 、法線ベクトル  の接空間の方程式は 

 関連項目 
 線形代数学
 ベクトル空間
 ベクトル
 単位ベクトル
 直交補空間
 ベクトル解析

 外部リンク 


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