結合エントロピー

結合エントロピー（けつごうエントロピー、）とは、情報理論における情報量の一種。結合エントロピーは、2つの確率変数の結合した系でのエントロピーを表す。確率変数  と  があるとき、結合エントロピーは  と記される。他のエントロピーと同様、単位は対数の底によってビット (bit)、ナット (nat)、ディット (dit) が使われる。

 背景 
確率変数  があるとき、そのエントロピー  は  の値の不確かさを表す。 について、イベント  が発生する確率が  であるとき、 のエントロピーは次のようになる。

もう1つの確率変数  では、イベント  が発生する確率が  であるとする。 のエントロピーは  で表される。

ここで、 と  が相互に関連したイベントを表しているとき、系全体のエントロピーは  にはならない。例えば、1から8までの整数を1つ選ぶとし、それぞれの整数が選ばれる確率が同じとする。 は選んだ整数が奇数かどうかを表し、 は選んだ整数が素数かどうかを表すとする。1から8の整数のうち半分は偶数であり、同じく半分は素数である。したがって  となる。しかし、選んだ整数が偶数であるとわかっている場合、それが素数である場合は4つのうち1つしかない。つまり、2つの確率変数の分布は関連している。従って系全体のエントロピーは2ビットよりも小さくなる。

 定義 
ここで、考えられる結果の「対」  を全て考慮する。

それぞれの対の発生確率を  としたとき、結合エントロピーは次のようになる。

上記の例では、1を素数と見なしていない。従って、結合確率分布は次のようになる。

以上から、結合エントロピーは次のようになる。

 特性 
 部分エントロピーよりも大きい 
結合エントロピーは、常に元の系のエントロピー以上となる。新たな系を追加しても不確かさが減ることはない。

この不等式が等式になるのは、 が  の（決定的）関数になっている場合だけである。

 が  の（決定的）関数であるとき、以下も成り立つ。

 劣加法性 
2つの系をまとめて考えたとき、それぞれの系のエントロピーの総和より大きなエントロピーには決してならない。これは劣加法性 (subadditivity) の一例である。

この不等式が等式になるのは、 と  に確率論的独立性がある場合だけである。

 限界 
他のエントロピーと同様、常に  が成り立つ。

 他のエントロピー尺度との関係 
結合エントロピーは、次のように条件付きエントロピーの定義に使われる。

また、次のように相互情報量の定義にも使われる。

 参考文献 


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