三角形の中心

三角形の中心（さんかくけいのちゅうしん、）とは、任意の三角形から一意的に求めることができる点の総称である。他に芯、心などとも。

 例 
以下のような例がある（他にもいろいろある）。

3本の線の交点
 3頂点または3辺に対し指定された方法で引かれた3本の直線が1点で交わる（共点である）とき、その交点。共点であることを示すためにチェバの定理がよく利用される。
例
垂心 - 3本の高さ（各頂点からその対辺へ垂直に下ろした線分）の交点。
内心 - 角の二等分線、3本の交点。
外心 - 辺の垂直二等分線、3本の交点。
重心 - 3本の三角形の中線(各頂点とその対辺の中点を結ぶ線分)の交点。
加重重心 - 各頂点とその対辺の内分点を結ぶ線分、3本の交点。各頂点に各辺の比をいれかえた値の重りをつり下げるとつりあいの中心となる。
ジェルゴンヌ点 - 頂点と対辺に内接円が接する点を結ぶ線3本の交点。
エクセター点や安島-マルファッティ点のように、線分の作図に複数のステップを踏むものもある。
円の中心
特定の円の中心に当たる点。
例
内心 - 3辺に接する円（内接円）の中心。
外心 - 3頂点を通る円（外接円）の中心。
傍心 - 三角形の傍接円の中心。
六点円の中心 - 各頂点から下ろした垂線の足から他の2辺に下ろした合計6個の垂線の足を通る円の中心。
九点円の中心 - 各辺の中点、各頂点からその対辺に下ろした垂線の足、垂心と各頂点の中点の9点を通る円の中心。
シュピーカー点 - 中点三角形の内心。
既存の点や線から導かれるもの
計量を最小にする点、特定の2点の中点、特定の線と円の交点など。
例
フェルマー点 - 3頂点からの距離の和が最小となる点。
九点円の中心 - 外心と垂心の中点に当たる点。
等力点 - 3つのアポロニウスの円の交点。
上で例にあげた内心や九点円のように、1つの点を複数の方法で定義することも可能である。

 歴史 
内心・外心・重心・垂心・傍心（五心）などは古くから知られており、ユークリッドの「原論」にも記述が見られる。

他の点の多くは、1678年のチェバの定理より後となる。この定理によって存在が容易に示される心は少なくない。代表的な心にジェルゴンヌ点などがある。

モーレーの定理の発表などもあり、19世紀から20世紀にかけて三角形の研究は広く行われた。この時期に発見された点にはブロカール点・ド・ロンシャン点などがある。

その後も新しい心が提示されており、エヴァンズビル大学内のサイト「Encyclopedia of Triangle Centers」には2024年現在62000以上の心が登録されている。

 名称 
心の名前には、その心に関する研究をした人の名前が付けられることが多い。ナポレオン点のナポレオン・ボナパルトやソディ点のフレデリック・ソディのように、数学者以外の名前がつく例もある。

安島-マルファッティ点のように、日本人の名前が入っているものもある。

 三線座標と重心座標 
平面上の点を表す座標として三角形の各頂点に対して対称な座標を導入すると、心の位置を表すのに便利である。そのような座標として、三線座標と重心座標が使われる。

三線座標系は、点を三角形の各辺からの距離を用いて表現する座標である。点Pが辺BCから hA・辺CAから hB・辺ABから hC だけ離れているとき、Pの三線座標を (hA, hB, hC) で表す。実際にはこの値を単純な比に換算したものが用いられる。実際の距離で示したものを絶対三線座標という。辺に対し三角形と反対側にある場合には、この数字は負の値をとる。

例：内心の三線座標は (1, 1, 1) であり、絶対三線座標は (r, r, r) である。ここで r は内接円の半径である。

は、△PBCと△PCAと△PABの面積の比で表される。点Pの重心座標が (gA, gB, gC) のとき、

が成り立つ。重心座標によって指定される点は、三角形の頂点 A, B, C に (gA, gB, gC) の質量を置いた時のいわゆる「加重重心」に相当する。

三線座標と重心座標の間には、gA : gB : gC = a hA : b hB : c hC の関係が成り立つ。ここで、a, b, c は 3 辺の長さである。

3 点の三線座標からなる行列式の値が 0 の場合、その 3 点は同一直線上にある。重心座標でも同様である。

主な心を三線座標・重心座標と共に示す各座標は、比が意味を持つ事、および、角A, B, Cと辺の長さa, b, cは互換であることから、表示は一意的でない。表中の座標の表記は一例である。と以下のようになる:
記号記号は主に Encyclopedia of Triangle Centers に従う。名称三線座標または hA = h(a, b, c)心の三線座標・重心座標は、その対称性から triangle center function h(a, b, c) = (1/a) g(a, b, c) が存在して、三線座標 (h(a, b, c), h(b, c, a), h(c, a, b)), 重心座標 (g(a, b, c), g(b, c, a), g(c, a, b)) と書ける。重心座標または gA = g(a, b, c) X1, I内心(1, 1, 1)(a, b, c)X2, G重心(1/a, 1/b, 1/c)(1, 1, 1)X3, O外心(cos A, cos B, cos C)(sin 2A, sin 2B, sin 2C)
(a2(b2+c2-a2), b2(c2+a2-b2), c2(a2+b2-c2))X4, H垂心(1/cos A, 1/cos B, 1/cos C)(tan A, tan B, tan C)
(1/(b2+c2-a2), 1/(c2+a2-b2), 1/(a2+b2-c2))X5, N九点円の中心(cos(B - C), cos(C - A), cos(A - B))gA = a2(b2 + c2) - (b2 - c2)2X6, K類似重心 (ルモワーヌ点)(a, b, c)(a2, b2, c2)X7, Geジェルゴンヌ点(sec2(A/2), sec2(B/2), sec2(C/2))(tan(A/2), tan(B/2), tan(C/2))(1/(b+c-a), 1/(c+a-b), 1/(a+b-c))X8, Naナーゲル点(csc2(A/2), csc2(B/2), csc2(C/2))(cot(A/2), cot(B/2), cot(C/2))(b+c-a, c+a-b, a+b-c)X9, Mミッテンプンクト(b+c-a,c+a-b,a+b-c)(1+cos(A),1+cos(B),1+cos(C))
(a((b+c)2-a2), b((c+a)2-b2), c((a+b)2-c2))X10, Spシュピーカー点(bc(b+c), ca(a+b), ab(a+b))(b+c, c+a, a+b)X11フォイエルバッハ点(1- cos(B - C), 1- cos(C - A), 1- cos(A - B))gA = (b +c-a)(b-c)2 X12フォイエルバッハ点の{X1,X5}調和共役(1+ cos(B - C) ,1+ cos(C - A) ,1+ cos(A - B))gA =(b+c)2/(b +c-a)X13第1フェルマー点(csc(A + π/3), csc(B + π/3), csc(C + π/3))gA = a4 - 2(b2 - c2)2 + a2(b2 + c2 + 4√3×△ABC)△ABC は三角形の面積であり、△ABC = (1/4)√[(a + b + c)(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b)]X14第2フェルマー点(csc(A - π/3), csc(B - π/3), csc(C - π/3))gA = a4 - 2(b2 - c2)2 + a2(b2 + c2 - 4√3×△ABC)X15第1等力点(sin(A + π/3), sin(B + π/3), sin(C + π/3))gA=a2((a2-b2-c2)√3-△ABC )X16第2等力点(sin(A - π/3), sin(B - π/3), sin(C - π/3))gA=a2((a2-b2-c2)√3+△ABC )X17, N第1ナポレオン点(sec(A - π/3), sec(B - π/3), sec(C - π/3))gA = (sin A) hAX18, N'''||第2ナポレオン点||(sec(A + π/3), sec(B + π/3), sec(C + π/3))||gA = (sin A) hA
|-
|X19
|クローソン点
|(tan A, tan B,  tan C)
|gA=a(b2+c2-a2)
|-
|X20, L||ド・ロンシャン点||hA = cos A - cos B cos C||gA = tan B + tan C - tan A|-
|X21||シフラー点
|hA = (b+c-a)/(b+c)
|gA = sin A /(cos B+cos C)
|-
|X22, Ex||エクセター点
|hA = a(b4+c4-a4)
|gA = a hA|-
|X30
|オイラー無限遠点
|hA = cos A - 2cos B cos C|gA = (sin A) hA
|-
|X39
|ブロカール中点
|(a(b2+c2), b(c2+a2), c(a2+b2))
|(a2(b2+c2), b2(c2+a2), c2(a2+b2))
|-
|X40
|ベバン点
|hA = cos B +cos C -cos A -1
|gA = (sin A) hA
|-
|X54
|コスニタ点
|(sec(B - C), sec(C - A), sec(A - B))
| gA="(sin" A) hA |(sin A sec(B - C), sin B sec(C - A), sin C sec(A - B))
|-
|X68
|プラソロフ点
|hA = cos A sec 2A|gA = (b2 + c2 - a2)/(a4 + b4 + c4 - 2a2b2 - 2a2c2)
|-
|X76
|第3ブロカール点
|(1/a3,1/b3,1/c3)
|(1/a2,1/b2,1/c2)
|-
|X98
|タリ―点
|hA = bc/(b4 + c4 - a2b2 - a2c2)
|gA = 1/(b4 + c4 - a2b2 - a2c2)
|-
|X99
|シュタイナー点
|hA = bc/(b2 - c2)
|gA = 1/(b2 - c2)
|-
|X110
|キーペルト放物線の焦点
|hA = a/(b2 - c2)
|gA = sec(B - C)+ sec(C - A)sec(A - B)|-
|X111
|パリー点
|hA = a/(2a2-b2 - c2)
|gA = a hA|-
|X115
|キーペルト双曲線の中心
|hA = bc(b2 - c2)2
|gA = (b2 - c2)2
|-
|X125
|ジェラベク双曲線の中心
|hA = cos A sin2(B - C)
|gA = (sin A) hA|gA = a hA|-
|X173
|合同二等辺化線点
|hA =tan A/2 + sec A/2
|gA = (sin A) hA
|-
|X174
|イフ合同心
|(sec A/2 , sec B/2 , sec C/2)
|(sin A/2 , sin B/2 , sin C/2)
|-
|X175
|
|hA = sec(A/2) cos(B/2) cos(C/2) - 1
|gA = (sin A) hA
|-
|X176||||hA = sec(A/2) cos(B/2) cos(C/2) + 1||gA = (sin A) hA
|-
|X179||第1安島-マルファッティ点||(sec4(A/4), sec4(B/4), sec4(C/4))||(sin A sec4(A/4), sin B sec4(B/4), sin C sec4(C/4))
|-
|X180||第2安島-マルファッティ点||hA = 1/t(B, C, A) + 1/t(C, B, A) - 1/t(A, B, C),但し、t(A, B, C) = 1 + 2(sec(A/4) cos(B/4) cos(C/4))2||gA = (sin A) hA
|-
|X181
|アポロニウス点
|hA = a(b+c)2/(b+c-a)
|gA = a hA|-
|X182
|ブロカール円の中心
|(cos(A- ω) , cos(B - ω) , cos(C -ω))ωはブロカール角である。
|gA = (sin A) hA
|-
|X192
|合同辺平行線点 
|bc(ca + ab - bc) , ca(ab + bc - ca) , ab(bc + ca - ab)
|ca + ab - bc ,ab + bc - ca ,bc + ca - ab|-
|X351
|パリー円の中心
|hA = a(b2 - c2)(b2 + c2 - 2a2)
|gA = a hA|-
|X354
|ヴァイル点
|hA = (b - c)2 - ab - ac
|gA = a hA|-
|X355
|フールマン円の中心
|hA =  a cos A - (b + c)cos(B - C)
|gA = a hA|-
|X356
|第一モーリー三角形の中心
|hA = cos A/3 + 2 cos B/3 cos C/3
|gA = (sin A) hA
|-
|X357
|第二モーリー中心
|sec A/3 , sec B/3 , sec C/3
|gA = (sin A) hA
|-
|X359
|ホフスタッター1点
|hA = a/A|gA = a hA|-
|X360
|ホフスタッター0点
|hA = A/a|gA = a hA|-
|X369
|
|hA =bc(r - c + a)(r - a + b)
ただしrは2t3 - 3(a + b + c)t2 + (a2 + b2 + c2 + 8bc + 8ca + 8ab)t - (cb2 + ac2 + ba2 + 5bc2 + 5ca2 + 5ab2 + 9abc)=0の実根|gA = a hA|-
|X389||六点円の中心||hA = cos A - cos 2A cos(B - C)||gA = (sin A) hA
|-
|X399
|パリー鏡映点
|hA = 5 cos A - 4 cos B cos C - 8 sin B sin C cos2A|gA = (sin A) hA
|-
|X402
|ゴッサード配景中心
|hA =(2a4 - a2b2 - b4 - a2c2 + 2b2c2 - c4)(a8 - a6b2 - 2a4b4 + 3a2b6 - b8 - a6c2 + 5a4b2c2 - 3a2b4c2 - b6c2 - 2a4c4 - 3a2b2c4 + 4b4c4 + 3a2c6 - b2c6 - c8)
|gA = a hA|-
|X481
|第一エプシュタイン点
|hA = 2sec(A/2)cos(B/2)cos(C/2)-1
|gA = (sin A) hA
|-
|X482
|第二エプシュタイン点
|hA = 2sec(A/2)cos(B/2)cos(C/2)+1
|gA = (sin A) hA
|-
|X485
|外ベクタン点
|sec(A - π/4) , sec(B - π/4) , sec(C -π/4)
|gA = (sin A) hA
|-
|X486
|内ベクタン点
|sec(A + π/4) , sec(B + π/4) , sec(C + π/4)
|gA = (sin A) hA
|-
|X999
|混線内接円の根心
|hA =1/(a(a2+ 4bc- b2- c2))
|gA = a hA|-
|X1115
|シュタイナーの曲率重心
|(bc(π - A), ca(π - B), ab(π - C))
|((π - A), (π - B), (π - C))
|-
|X1116
|レスター円の中心
|hA = bc(b2-c2)(2(a2-b2)(c2-a2) + 3R2(2a2-b2-c2) - a2(a2+b2+c2) + a4+b4+c4)Rは外接円の半径である。
|gA = a hA|-
|X1153
|ヴァン・ラモン円の中心
|hA = bc(13a2(b2 + c2) + 10b2c2 - 10a4 - 4b4 - 4c4) 
|gA = a hA|-
|X1323
|フレッチャー点
|hA = (sec2A/2)(2 cos2A/2 - cos2B/2 - cos2C/2)
|gA = (sin A) hA
|-
|X1337
|第一ヴェルナウ点
|hA = a(-2*(-a2+b2+c2)△ABC+√3*(a2-c2+b2)*(a2-b2+c2))*(√3*b2+2△ABC)*(√3*c2+2△ABC)
|gA = a hA|-
|X1338
|第ニヴェルナウ点
|hA = a(-2*(-a2+b2+c2)△ABC+√3*(a2-c2+b2)*(a2-b2+c2))*(√3*b2-2△ABC)*(√3*c2-2△ABC)
|gA = a hA|-
|X1371
|第一リグビー点
|hA = 1 + 8(△ABC)/(3a(b + c - a))
|gA = a hA|-
|X1372
|第二リグビー点
|hA = 1 - 8(△ABC)/(3a(b + c - a))
|gA = a hA|-
|X1373
|第一グリフィス点
|hA = 1 + 8(△ABC)/(a(b + c - a))
|gA = a hA|-
|X1374
|第二グリフィス点
|hA = 1 - 8(△ABC)/(a(b + c - a))
|gA = a hA|-
|X8142
|GEOS円の中心
|hA = a2cot A/(2△ABC)+cot Bcot C -a(b+c-a)/(2(a-b)(a-c))
|gA = (sin A) h''A

また、（厳密な意味で）三角形の心ではないが重要な点の座標を以下に挙げる:
記号名称三線座標重心座標ABC頂点(1, 0, 0)(0, 1, 0)(0, 0, 1)(1, 0, 0)(0, 1, 0)(0, 0, 1)IAIBIC傍心(-1, 1, 1)(1, -1, 1)(1, 1, -1)(-a, b, c)(a, -b, c)(a, b, -c)P1U1第1ブロカール点第2ブロカール点(c/b, a/c, b/a)(b/c, c/a, a/b)(ac/b, ba/c, cb/a)(ab/c, bc/a, ca/b)

 出典 

 外部リンク 
 Clark Kimberling, Encyclopedia of Triangle Centers - エヴァンズビル大学。2024年3月12日更新版、2024年3月12日閲覧。
 Clark Kimberling, Bicentric Pairs - エヴァンズビル大学。2015年1月7日更新版、2015年5月24日閲覧。




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