二体問題

古典力学において、二体問題（にたいもんだい、）とは、互いに重力相互作用を及ぼす2つの質点の動きを扱う問題である。身近な例としては、惑星の周りを回る衛星、恒星の周りを回る惑星、の周りを回る連星や、原子核の周りを回る古典的な電子などがある。

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全ての二体問題は、独立した一体問題に帰着させて解くことができる。しかし、三体問題やそれ以上の多体問題は、特別な場合を除いて解くことはできない。

問題の記述
 を時刻、,  を時刻  における2つの質点の位置ベクトル、,  を2つの質点の質量、 を万有引力定数、,  を最初の位置ベクトル、,  を最初の速度ベクトルとする。二体問題の最終的な目標は、連立方程式



を解き、ベクトル関数 ,  を、それぞれ , , , , , , ,  を用いて表すことである。

運動の第2法則により、

と書ける。ここで、

 は質量1が質量2から受ける力であり、
 は質量2が質量1から受ける力である。

これをもとに、2つの一体問題に帰着させることで、二体問題を解くことができる。式1と式2を足すと、重心の運動を表す方程式になる。式1から式2を引くと、ベクトルの経時変化となる。2つの解を組み合わせることで、軌跡とが記述できる。

重心の動き
式1と式2を足すと、

となる。ここで、2つめの等号は運動の第3法則を用いた。これを変形して

となり、これは重心の位置を表す。ここから得られる式

は、重心の速度と、
全運動量が一定であることを意味する。
つまり、重心の位置と速度は、初期位置と初期速度から一意に決まる。

変位ベクトルの動き
上の式を相対質量で割り、1式から2式を引くと、

が得られる。ここで、は、質量2から質量1への変位ベクトルである。

2つの物体に働く力はの関数となり、との絶対値には関係しない。
この式は次のように書ける。

ここでは換算質量であり、

である。

従って、 と  の軌跡の方程式は、時刻  における2物体間の重心の位置ベクトル , 質量2から質量1への変位ベクトル  を使って、

と書くことができる。

関連項目
ケプラーの法則
ビリアル定理
2体ポテンシャル
Kepler problem（ケプラー問題）

Category:天体力学
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