デデキントのイータ関数

デデキントのイータ関数 (デデキントのイータかんすう、) は次のような式で定義される関数であるWolfram Mathworld: Dedekind Eta Function。

ヤコビの三重積の公式により、

となる。イータ関数は上半平面で正則であり、極も零点も持たない。イータ関数は実軸上に稠密な零点を持つ。

 極と零点 
であればであるから、

である。従って、イータ関数は上半平面で極も零点も持たない。しかし、が有理数であればであるから、イータ関数は実軸上に稠密な零点を持つ。

 テータ関数との関係 
イータ関数はテータ関数で表される。オイラーの分割恒等式を用いて

である。また、

である。

 モジュラー変換 
テータ関数の虚数変換式により

であるが、が純虚数であれば両辺ともに実数であるから、

である。また、

であるから、イータ関数の24乗は重さ12のモジュラー形式である。

実際、モジュラー判別式の定数倍と一致する。

 関数等式 
イータ関数の24乗は重さ12のモジュラー形式であるから、一般のモジュラー変換については c ≠ 0 のとき、ある1の24乗根  について関数等式

が成り立つ。は

により求められる。ここでは

をあらわす。

 出典 

 参考文献 

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