ブルン定数

ブルン定数 (Brun's constant) は数学定数の一つで  と表記されることが多い。この数は、双子素数の逆数の和の極限として定義される。すなわち、

である。素数の逆数和が（無限大に）発散することはオイラーにより知られていたが、双子素数についてはヴィーゴ・ブルンが1919年にこの級数は収束することを示した。そのため、双子素数は無数に存在するかどうかは引き続き未解決である。また、この極限が無理数であるか有理数であるかも未解決である（もし無理数ならば双子素数は無数に存在すると分かる）。

1996年、Thomas R. Nicely は  以下の双子素数までの部分和を計算した（部分和は ）。なお、その過程で彼は有名なCPUに関するバグである Pentium FDIV バグを発見した。2002年の Pascal Sebah と Xavier Gourdon の2人の論文では  までの部分和を計算（）し、ブルン定数は

であると推定した。

また、同様の数が四つ子素数についても定義される。これは四つ子素数に対するブルン数と呼ばれ、しばしば  と表記される。四つ子素数とは値が 4 離れた2つの双子素数の組で、小さい方から , ,  となる。すなわち  は次の式で与えられる。

この値はおよそ

と推計されている。

脚注

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