ボーア・モレルップの定理

ボーア・モレルップの定理 (Bohr–Mollerup Theorem) は、ガンマ関数を特徴づける定理である。デンマーク人数学者のハラルト・ボーアとにより証明された。この定理によると、正の実軸上で対数凸であり、かつを満たす複素解析関数は唯一ガンマ関数のみであるWolfram Mathworld: Bohr-Mollerup Theorem。

 証明1 
初めにガンマ関数が正の実軸上で対数凸であることを確かめる。ワイエルシュトラスの乗積表示から

であり、対数の二階微分が正であるからガンマ関数は正の実軸上で対数凸である。また、ともガンマ関数の特徴として周知のものであるから、ガンマ関数はボーア・モレルップの定理の要求を充足する。次に未知の関数がボーア・モレルップの定理の要求を充足するものと仮定してであることを証明する。

と定義する。であるから

であり、を任意の自然数としてである。また、であるからである。背理法を用い、となる点が実軸上に存在すると仮定する。しかし、であるから、が存在するためにはが存在しなければならず、延いてはが存在しなければならない。これは

を意味する。しかし、とするとであるからとならなければならず、が対数凸であるという要求に反する。故に背理法の仮定は成立せず、常にであり、である。以上により、でが示されたが、一致の定理により正則な定義域全体でとなる。

 証明2 
初めにガンマ関数が正の実軸上で対数凸であることを確かめる。ヘルダーの不等式により、

であり、対数をとると

であるから、故にガンマ関数は対数凸である。また、ともガンマ関数の特徴として周知のものであるから、ガンマ関数はボーア・モレルップの定理の要求を充足する。次に未知の関数がボーア・モレルップの定理の要求を充足するものと仮定してであることを証明する。は実軸上で対数凸であるから

である。また、

であるから、合わせて

となる。
を整数とし、とすれば不等式の両端が一致して

を得る。以上により、でが示されたが、一致の定理により正則な定義域全体でとなる。

 出典 

 参考文献 

 Artin, Emil (1964). The Gamma Function. Holt, Rinehart, Winston.
 Mollerup, J., Bohr, H. (1922). Lærebog i Kompleks Analyse vol. III, Copenhagen. (Textbook in Complex Analysis)

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