ポッホハマー記号

解析学におけるポッホハマー記号（ポッホハマーきごう、）はの名に因む特殊函数で、組合せ論および超幾何級数論にも応用を持つ。

 記法について 
同じ函数を表す記号だが、表記にはいくつかバリエーションがある。
 : 組合せ論で使用
 : 解析学、特殊函数論で使用
 : (その他の記法)

複素数  と正整数  に対して、特殊函数論では  を昇冪

を表すのに用いるが、組合せ論では  を降冪

として用いる。混乱を避けるため、昇冪を , 降冪を  でそれぞれ表すこともよく行われるそれほど一般的ではないが昇冪を  と書くこともある。このとき混乱を避けるため、降冪は  と書いて区別するのが典型的である。。さらに  は全く別の冪乗に似た記号を用いる。

差分学における降冪は微分学における冪の類似対応物である。
ガンマ関数Γを用いると

となる（ただしガンマ関数の引数が非正整数でない場合）。さらに x が正整数のときは階乗を用いて

 性質 
 ポッホハマー記号  は複素変数  に関して有理型函数である。
 任意の自然数  に対して  は  の多項式であり、 を共通根に持つ。
 変数  の符号を反転するとき

 径数  の符号を反転するとき、以下の関係式が成り立つ:


 商の法則:

 特殊値:


 二項係数との間に以下の関係がある:

 応用 
ポッホハマー記号は函数の冪級数展開を表すのに用いられる。いくつか例を挙げれば、
 ニュートンの二項級数:

 超幾何函数:

 一般化 
 -類似 

ポッホハマー記号の -類似に -ポッホハマー記号がある。これは

で定義される。

 多重ポッホハマー記号 

多重指数に対するポッホハマー記号を以下のように定めることができる:

 注釈 

 参考文献 







 外部リンク 


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