Q二項定理

数学において、q二項定理（）は二項定理のq-類似であるWolfram Mathworld: q-Binomial Theorem。超幾何級数 の和は通常の二項定理

で与えられる。これに倣い、q超幾何級数の和を与える公式

をq二項定理と呼ぶ。ただし、はポッホハマー記号、はqポッホハマー記号である。

 証明 
右辺をとして関数方程式を導く。

これにより、左辺を得る。


 別証明 
左辺をとして関数方程式を導く。

をテイラー級数に展開しての係数を比較すると

となり、であるから

となる。これにより、右辺を得る。


 コーシーの二項定理 
コーシーの二項定理はq二項定理の特殊な場合であるWolfram Mathworld: Cauchy Binomial Theorem。

ただし、

はq二項係数である。q二項定理にを代入すると

となるが、左辺はでとなり、右辺はの分子がの分母を打ち消す。従って、

である。左辺はqポッホハマー記号の変換式により、

となる。

 出典 

Category:q-解析学
Category:解析学の定理
Category:複素解析
Category:数論
qきゆうにこうていり