ヤコビの二平方定理

ヤコビの二平方定理 (Jacobi's two square theorem) は、自然数を高々二個の平方数の和で表す方法の数を与える定理Hardy & Write, 1938, An Introduction to the Theory of Numbers。名称はドイツの数学者ヤコビに由来する。

自然数Nを高々二個の平方数の和で表す方法の数は

で与えられる。但し、シグマ記号は2で整除されないNの約数（1とNを含む）について和を取ることを表す。言い替えれば、自然数Nを高々二個の平方数の和で表す方法の数は、Nの約数のうち、4を法にして1と合同になるものの個数から3と合同になるものの個数を引いたものの4倍に等しい。

 具体例 
例えば、

であるが、実際に25を高々二個の平方数の和で表す方法は

であり、符号と順序を区別すれば12個になる。

 証明 
テータ関数の比は楕円関数（二重周期を持つ有理型関数）になり、楕円関数の導関数も楕円関数になるから、

とは共に楕円関数である。且つ、

であるから、となるところにおいて悉くとなり、リウヴィルの定理によっては定数である。として

により、を得る。従って、

である。右辺のテータ関数を無限乗積に展開し、を代入し、と書くと

となり、ヤコビの三重積の公式により

となる。一方、

であるから

であり、テータ関数の対数微分の公式により

である。以上により、

が得られ、の係数を比較することにより、

が得られる。

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 出典 

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