合同ゼータ関数

数学において、 個の元をもつ有限体  上で定義された非特異射影代数多様体  の合同ゼータ関数 (congruent zeta function) （または局所ゼータ関数 (local zeta function)）とは、 を  の  次拡大体  上の  の（有理）点の数（定義方程式の解の個数）としたとき、

で定義される。変数変換  を行うと、これは  の形式的冪級数として

で定義される。

あるいは同じことだが、 

が定義に採用されることもある。

言い換えると、合同ゼータ関数  とは、有限体  上で  を定義する方程式の  の  次拡大体  における解の数の生成母関数が、 の対数微分となるような関数とも定義できる。

定式化
有限体  が与えられたとき、自然数  に対し、拡大次数が  である体  が同型を除き一意に存在する。 上の多項式からなる方程式系、あるいは、代数多様体  が与えられると、 における解の数  を数えることができ、その生成母関数

を作ることができる。

局所ゼータ関数  の定義は、 が  に等しくなるようにする。つまり、

とする。

 だから  である。また、 はア・プリオリに形式的冪級数である。

 の対数微分

は、生成母関数  の微分

に等しい。

例
まず、一点からなる多様体を考え、多様体の定義方程式を  とする。この定義方程式は、拡大次数  がどのような値であっても、方程式の解の数は、 となる。このことから全ての  に対し、形式的べき級数の各係数が  である場合と、 を一点からなる多様体として取ることとが対応する。従って、

は、 に対する対数の展開であり、

となる。

さらに興味深い例は、 を  上の射影直線(projective line)としたときである。 が  個の元を持つとすると、この多様体は  個の点を持ち、この  個は無限遠点と考えるべきである。このことから、

となり、が充分小さいとき、

となることが分かる。

この場合には、

となる。

これらの関数を最初に研究したのは、1923年のエミール・アルティン(Emil Artin)であった。彼は、超楕円曲線の場合の結果を得て、さらに曲線一般への適用として、理論の主要な点を予想とした。この理論は、F. K. シュミット(F. K. Schmidt)とヘルムート・ハッセ(Helmut Hasse)により開発された。Daniel Bump, Algebraic Geometry (1998), p. 195. 局所ゼータ関数の非自明で最初な例は、カール・フリードリヒ・ガウス(Carl Friedrich Gauss)のDisquisitiones Arithmeticaeの論文 358 により、暗に与えられていた。虚数乗法をもつ有限体上の楕円曲線の特別な例は、円分の方法(cyclotomy)により、それらの解の個数を数えることができる。Barry Mazur, Eigenvalues of Frobenius acting on algebraic varieties over finite fields, p. 244 in Algebraic Geometry, Arcata 1974: Proceedings American Mathematical Society (1974).

定義やいくつかの例については、Robin Hartshorne, Algebraic Geometry, p. 449 Springer 1977 APPENDIX C "The Weil Conjectures"も参照。

動機
 と  の定義の間の関係は、多くの方法で説明することができる（例えば、以下の  の無限積の公式を参照）。実際は、（一般の代数多様体に対しても、）この方法は、 が有限体上の楕円曲線  の場合のように、 は  の有理関数となっている。

関数  は多重のとなっていて、大域的ゼータ関数(global zeta function)を得る。これらは、異なる有限体を意味していて、 が全ての素数を渡るときの体  の族の全体を意味している。これらの関係の中で、変数  は  が代入される。この  はディリクレ級数に使われる伝統的な複素数変数である。詳細はハッセ・ヴェイユのゼータ関数を参照。

このように理解すると、例で使われた 2つの場合の  の積は、 と  となる。

有限体上の曲線のリーマン予想

 上の非特異な射影曲線  に対し、 を曲線  の種数とし、 を曲線を定義する次数  の多項式とすると、

となる。

と書くと、有限体上の曲線のリーマン予想は、

となるということを言う。

例えば、楕円曲線の場合は、2つの根を持っていて、根の絶対値が  であることを容易にしめすことができる。楕円曲線のハッセの定理は、2つの根が同じ絶対値を持ち、このことは（楕円曲線の）点の数の直接的な結果であることを言っている。

アンドレ・ヴェイユ(André Weil)は1940年頃、このことを一般的な場合に証明した (Comptes Rendus note, April 1940) が、代数幾何学を建設するために多くの時間を注ぎ込んだ。このことから、彼はヴェイユ予想へ至り、グロタンディエク(Grothendieck)はこの予想の解決のため、スキーム論を開発し、最終的に予想は後に、ドリーニュ(Deligne)により証明されることとなった。一般論の基本公式については、エタールコホモロジーを参照。

ゼータ関数の一般的公式

この式は、フロベニウス写像に対するレフシェッツ不動点定理の結果である。

ここに  は、 個の元を持つ有限体  上の有限タイプの分離的スキームであり、 は  のコンパクトな台を持つ幾何学的フロベニウス作用である。 は  の代数的閉体への  のリフトである。このことは、ゼータ関数が  の有理関数であることを示している。

 の無限積公式は、

である。ここに、積は  の閉点  全てを渡り、 は  の次数である。局所ゼータ関数  は  の変数変換を通して、複素数変数  の関数と見ることができる。

上で議論した  が多様体  の場合は、閉点は  上の点  の同値類  のこととなり、2つの点の同値とは  上で共役なこととなる。 の次数は  の座標により生成される  の拡大次数である。無限積  の対数微分は、容易に、上で議論した生成母関数と見なすことができる。すなわち、

である。

 関連項目 
ゼータ函数
ヴェイユ予想
楕円曲線

脚注

 参考文献 

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Category:ゼータ関数とL関数
Category:不動点
Category:ベルンハルト・リーマン
Category:有限体