時不変系

時不変系（じふへんけい、）は、その出力が時間に明示的に依存していない系である。入力信号  によって出力  が生成されるとき、時間をシフトさせた入力  では出力も  となり、同じだけ時間をシフトしたものとなる。

形式的には、 をシフト作用素としたとき（）、次が成り立つ  を時不変作用素と呼ぶ。

この属性は、系の伝達関数が時間の関数ではなく、入力と出力だけで表される場合に満足される。また、概略的に表すと次のようになる。
 系が時不変であるとき、その系のブロックは任意の遅延について可換である。

 単純な例 
系が時不変かどうかを判定する例を示すため、次の2つの系を考える。
 系 A: 
 系 B: 

系 A は  と  以外の部分で明示的に t に依存しているので、時変である。一方系 B は明示的に t に依存していないので、時不変である。

 形式的な例 
次に A と B の系がなぜ上述のように言えるのかを、形式的な証明によって示す。証明するために、第二の定義（系が時不変であるとき、その系のブロックは任意の遅延について可換である）を利用する。

系 A:
 遅延のある入力  を与えると、次のようになる。

 ここで出力を  のぶんだけ遅延させる。

  であることは明らかであり、従ってこの系は時不変ではない。

系 B:
 遅延のある入力  を与えると、次のようになる。

 ここで出力を  のぶんだけ遅延させる。

  であることは明らかであり、従ってこの系は時不変である。他にも証明方法はあるが、これが最も容易である。

 抽象的な例 
シフト作用素を  と表す。ここで、 はベクトルの添え字群がシフトされるべき量である。例えば、"advance-by-1" 系

は、ここでの抽象的記法では次のようになる。

ここで、 は次の式で与えられる関数である。

シフトされた出力となる系は次のようになる。

従って  は入力ベクトルを 1 だけ進める作用素である。

ここで、系を作用素  で表す。この系が時不変であるのは、この作用素とシフト作用素の間で交換法則が成り立つ場合である。すなわち、

系の方程式が次のようであるとする。

この系が時不変であるとは、系の作用素  を  に適用してからシフト作用素  を適用した場合と、シフト作用素  を適用してから系の作用素  を適用した場合で、結果が等価となる場合である。

系の作用素を先に適用すると、次のようになる。

シフト作用素を先に適用すると、次のようになる。

従って、系が時不変なら次が成り立つ。

 関連項目 
有限インパルス応答
LTIシステム理論
状態空間 (制御理論)

Category:制御理論
Category:信号処理