三個の平方数の和

この記事は「平方数」、「三角数」、「多角数定理」などの補遺に当たる。ここに示す事実は古くから知られているWolfram MathWorld: Sum of Squares Functionものであるが呼びかたが定まっていない。日本語では「三平方和定理」などと呼ばれることもあるが、ピタゴラスの定理とは全く別のものである。

自然数が三個の平方数の和で表されるための必要十分条件は、により、と表されることである。逆に、で表される自然数は三個の平方数の和で表されない。これはディオファントスの時代から研究されてきたことであるが、1798年、ルジャンドルによって証明された。

 証明 
十分条件の証明は初等的に行うことは可能であるが、二次形式に関する議論を必要とし、複雑である初等的な証明は例えば Melvyn B. Nathanson, Additive number theory : the classical bases, GTM 164, Springer-Verlag, New York, Tokyo, 1996. の第1章に掲載されている。。必要条件の証明は次に記すとおり、容易である。

 必要条件 
が三個の平方数の和で表されないことは、から明らかである。仮に

と表されるとすれば、は全て偶数であるから

となり、数学的帰納法により、は三個の平方数の和で表されない。

 系 
 三個の三角数の和 
の形の自然数は高々三個の平方数の和で表されるから

となる整数が存在する。故に全ての自然数は高々三個の三角数の和で表される。

 四個の平方数の和 
全ての自然数はとしてで表される。その中でのものは高々三個の平方数の和で表され、のものはとして高々四個の平方数の和で表される。従って、全ての自然数は高々四個の平方数の和で表される。なお、四個の平方数の和については初等的な証明（→多角数定理）が知られている。

 関連項目 
二個の平方数の和
3つの立方数の和

 出典 

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