弦 (数学)

初等幾何学における円の弦（げん、）は、その円周上に両端点を持つ線分を言う。弦を無限に延長して得られる直線を、割線と呼ぶ。より一般に、任意の曲線（例えば楕円）において、その曲線上の二点を結ぶ線分を、その曲線上の弦と総称する。円の中心を通る弦はその円の直径である。任意の直径は弦であるが、任意の弦が直径となるわけではない。


 円の弦 

円の弦に関する性質には、例えば以下のようなものがある:
 二つの弦が、円の中心から等距離にあるための必要十分条件は、それら弦の長さが等しいことである。
 長さの等しい弦を、円の中心から見込む角（中心角）は等しい。
 円の中心を通る弦は直径と呼ばれ、その円の最長の弦である。
 弦  および  を延長して得られる割線が点  で交わるならば、それらの長さは  を満足する（方冪の定理）。

 楕円の弦 
楕円における互いに平行な弦の族が与えられたとき、それら弦の中点はすべて同一直線上にある。

 弦をもとにした三角法 
三角法の初期の段階では弦が手広く用いられていた。知られた最古の三角函数表はヒッパルコスの編纂したで、それには7.5°刻みで弦函数の値が書き並べられていた。AD 2世紀に、アレクサンドリアのプトレマイオスは、天文学に関する著書『アルマゲスト』において、より詳細な弦の数表を編纂している（0.5°から180°まで0.5°刻みで値が与えられ、これは円の直径を120として小数点以下60進2桁まで正確であった）。

弦函数  は幾何学的には（図のように）中心角  の見込む弦の長さが （ は半径）となるように定義される。すなわち、弦函数の値  は、中心角  によって隔てられた単位円上の二点間を結ぶ弦の長さである。ここでは角度  は正の向きに測るものとし、弧度法で区間  の範囲に入るものと考えている。この弦函数  をより現代的な正弦函数  と関連付けることができる。それには、一点  ともう一つの点  を結ぶ弦の長さを三平方の定理を用いて計算すればよい。すると  を得る。最後の等号は半角公式による。

現代的な三角法が正弦函数に基づいて構築されているのと同様に、古来の三角法はこの弦函数をもとに構築されていた。ヒッパルコスは（いまではもうすべて失われたけれども）12巻にも及ぶ弦についての文献を書き上げたというから、三角法についてはかなりのことが知られていたと考えられる。現代的な三角函数に関するよく知られた恒等式の弦函数版がある:

 恒等式  正弦版  弦版 三平方の定理 半角公式   辺心距離  中心角  ただし、半径 （直径 ）の円の中心角  が見込む弦の長さを  とする。

弦函数  の逆函数  もまた存在して、逆正弦函数とは  の関係にある。

 脚注 

 注釈 

 出典 

 関連文献 



 関連項目 

 弓形: 端点が同じ弦と円弧で囲まれた部分(=扇形から半径と弦が作る三角形を取り除いて残る部分) 
 : 弦に打った目盛りで角度を測る尺

 : 凸閉曲線内を回転する弦に関する
 : 一つの円内の弦の集合に対する
 : 外正割（剰正割; exsecant）と外余割（剰余割; excosecant）
 正矢: 正矢（余正弦、残正弦; versine) と半正矢 (haversine) およびそれらの逆函数. 関連して、余矢 (coversine), 残正矢 (vercosine), 残余矢 (covercosine) / 半余矢 (hacoversine), 半残正矢 (havercosine), 半残余矢 (hacovercosine) など. 
 : 任意の弦が、同じ長さを持ち、かつ周長を二等分する単純閉曲線

 外部リンク 

 History of Trigonometry Outline
 Trigonometric functions, focusing on history
Chord (of a circle) With interactive animation





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