オルンシュタイン＝ウーレンベック過程

オルンシュタイン＝ウーレンベック過程（オルンシュタイン＝ウーレンベックかてい、）は、レナード・オルンシュタインとジョージ・ウーレンベックの名にちなんだ確率過程である。平均回帰過程（へいきんかいきかてい）とも呼ばれる。

オルンシュタイン＝ウーレンベック過程は、以下のような確率微分方程式で与えられる確率過程{rt}である。

ここで、θ, μ, σ はパラメータであり、Wt はウィーナー過程を表す。 

オルンシュタイン＝ウーレンベック過程は、離散時間AR(1)過程の連続時間バージョンであると言える。

θ = 1, μ = 1.2, σ = 0.3:
: 初期値 r0 = 0 (a.s.)
: 初期値 r0 = 2 (a.s.)
: 初期値が正規分布に従うと仮定（過程は不変測度を持つことになる）

 解 
この方程式は定数変化法を用いて解くことができる。関数に対して伊藤の補題を適用し、以下の式を得る。

これを0からtまで積分することにより、次の式が得られる。

これを変形し、以下のように解が求められる。

が定数であると仮定するとき、の1次モーメントは以下のように計算できる。

とおくと、伊藤積分の等長性
伊藤積分の等長性とは、伊藤積分において、一般的に

が成り立つことをいう。
を用いて次のような共分散関数が得られる。

 別表現1 
オルンシュタイン＝ウーレンベック過程は、スケールを変え時間シフトをしたウィーナー過程としても表現することが可能である（そして、しばしばその方が便利である）。初期値条件の無い場合、

となり、またが与えられた場合は以下のようになる。

オルンシュタイン＝ウーレンベック過程は、有界な分散を持つガウス過程の例であり、ウィーナー過程とは対照的に定常確率分布を許している。

この過程の時間積分は、1/fパワースペクトルを持つノイズを生成するために用いることができる。

 別表現2 
B をブラウン運動とすると、

はオルンシュタイン＝ウーレンベック過程である。Utは以下の微分方程式の解である。

参考文献
 G. E. Uhlenbeck and L. S. Ornstein,  "On the theory of Brownian Motion", Phys. Rev. 36:823-41, 1930.
 D. T. Gillespie, "Exact numerical simulation of the Ornstein-Uhlenbeck process and its integral", Phys. Rev. E 54:2084-91, 1996.

 関連項目 
 利子率に関するバシチェック・モデルは、オルンシュタイン＝ウーレンベック過程の例である。

 一般化 
オルンシュタイン＝ウーレンベック過程は、背後過程を（ウィーナー過程より一般的な）レヴィ過程とした拡張が可能である。このような確率過程については、オーレ・バーンドルフ＝ニールセンらによって研究されている。
正確にはgeneralised Ornstein-Uhlenbeck過程と呼ばれるが、その由来は形が似ているだけでなく、generalised Langevin方程式（generalised　Black-Scholes方程式＜ブラック・ショールズのレヴィ過程版＞とLangevin方程式のレヴィ過程版を合体させたもの）の解になるのではないかと推理されていた。しかし、近年、それらが解の関係にはならないことが証明されている。その証明の際には、generalised Langevin方程式の解が与えられ、YORの本によればセミマルチンゲールの場合に一般化された解も与えられている。

 脚注 

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