数値流体力学

数値流体力学（すうちりゅうたいりきがく、、略称：）とは、偏微分方程式の数値解法等を駆使して流体の運動に関する方程式（オイラー方程式、ナビエ-ストークス方程式、またはその派生式）をコンピュータで解くことによって流れを観察する数値解析・シミュレーション手法。計算流体力学とも。コンピュータの性能向上とともに飛躍的に発展し、航空機・自動車・鉄道車両・船舶・血流等の流体中を移動する機械および建築物の設計をするにあたって風洞実験に並ぶ重要な存在となっている。

 原理 
 離散化法 
数値流体力学では与えられた幾何形状をコンピュータで扱えるように離散化する必要がある。離散化には次のような手法があるFerziger, Perić, p.26。

 有限差分法 (FDM)Strikwerda, J. C. (2004). Finite difference schemes and partial differential equations. SIAM.Smith, G. D. (1985). Numerical solution of partial differential equations: finite difference methods. Oxford University Press.
 有限体積法 (FVM)LeVeque, Randall (2002), Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press.
 有限要素法 (FEM)森正武. (1986) 有限要素法とその応用. 岩波書店.菊池文雄. (1999). 有限要素法概説 [新訂版]. サイエンス社.菊池文雄. (1994). 有限要素法の数理. 培風館.有限要素法で学ぶ現象と数理―FreeFem++数理思考プログラミング―, 日本応用数理学会 監修・大塚 厚二・高石 武史著, 共立出版.Brenner, S., & Scott, R. (2007). The mathematical theory of finite element methods. Springer Science & Business Media.Johnson, C. (2012). Numerical solution of partial differential equations by the finite element method. Courier Corporation.Braess, D. (2007). Finite elements: Theory, fast solvers, and applications in solid mechanics. Cambridge University Press.
 スペクトル法石岡圭一, スペクトル法による数値計算入門, 東京大学出版会.Lloyd N. Trefethen (2000) Spectral Methods in MATLAB. SIAM, Philadelphia, PA.D. Gottlieb and S. Orzag (1977) "Numerical Analysis of Spectral Methods : Theory and Applications", SIAM, Philadelphia, PA.
 境界要素法 (BEM)境界要素法 ―基本と応用―、2004年10月、J.T.カチカデーリス 著／田中正隆 ・荒井雄理 訳、朝倉書店。Cheng, Alexander H.-D.; Cheng, Daisy T. (2005), "Heritage and early history of the boundary element method", Engineering Analysis with Boundary Elements, 29 (3): 268–302.Katsikadelis, John T. (2002), Boundary Elements Theory and Applications, Amsterdam: Elsevier, pp. XIV+336, ISBN 978-0-080-44107-8.Wrobel, L. C.; Aliabadi, M. H. (2002), The Boundary Element Method, New York: John Wiley & Sons, p. 1066, ISBN 978-0-470-84139-6 (in two volumes).Banerjee, Prasanta Kumar (1994), The Boundary Element Methods in Engineering (2nd ed.), London, etc.: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-707769-3.
 格子オートマトン法
 格子ボルツマン法稲室隆二. (2001). 格子ボルツマン法: 新しい流体シミュレーション法 (< シリーズ> 物性研究者のための計算手法入門).Mohamad, A. A. (2011). Lattice Boltzmann Method (Vol. 70). London: Springer.Chen, S., & Doolen, G. D. (1998). Lattice Boltzmann method for fluid flows. Annual review of fluid mechanics, 30(1), 329-364.Aidun, C. K., & Clausen, J. R. (2010). Lattice-Boltzmann method for complex flows. Annual review of fluid mechanics, 42, 439-472.He, X., & Luo, L. S. (1997). Theory of the lattice Boltzmann method: From the Boltzmann equation to the lattice Boltzmann equation. Physical Review E, 56(6), 6811.
 格子気体法蔦原道久, 高田尚樹, & 片岡武. (1999). 格子気体法・格子ボルツマン法. コロナ社.Doolen, G. D. (Ed.). (1991). Lattice gas methods: theory, applications, and hardware. MIT Press.Biggs, M. J., & Humby, S. J. (1998). Lattice-gas automata methods for engineering. Chemical Engineering Research and Design, 76(2), 162-174.
 適合格子細分化法
 個別要素法 (DEM)* 
 粒子法

 無次元化 
流体力学ではよく行われるように、数値流体力学でも支配方程式やその解を無次元化することが便利である。しかし、流れが複雑な場合、流体の物性値が一定でなかったり、境界条件が非定常であったりすることで流れを記述するのに必要なパラメータが多数できてしまい、無次元形式にしても有用でなくなる場合があるFerziger, Perić, pp.10-11。

 手順 
一般には次のような手順で解析が行われる。
 前処理（プリプロセス、）
 モデルデータ作成
 対象物体の形状を再現した3Dまたは2Dモデルを作成する。設計にCADを使用し、そのデータを用いることが多い。
 格子生成
 数値流体力学では空間を離散的に扱うため、物体形状および周りの空間を離散化する必要があり、一般には計算格子（グリッドあるいはメッシュとも）で表現する（一方、メッシュフリー法、粒子法などの格子を用いない手法も存在する）。格子生成には四面体を用いた法、直方体を用いた構造格子法などさまざまな手法がある。また、格子の数を格子点数といい、これを大きくすれば結果の精度が上がるものの解析にかかる時間が増大する。このため、境界層が存在する物体近傍や衝撃波面など、詳細な結果が求められる部位のみに多くの格子を配置する、というような工夫がなされる。
 解析
 コンピュータによる反復計算を用いて格子毎の流れ方程式の近似解を求める。計算の結果として、各格子ごとの圧力・流速・密度などが求まる。格子点数やスキーム、コンピュータの性能にもよるが、長い時間を必要とすることが多く、スーパーコンピュータが用いられることもある。
 後処理（ポストプロセス、）
 数値的な出力
 計測器などの制約から実際には測定ができないような箇所でも、数値解析では計算領域内ならどこでも物理量を得ることができる。またそれを数値積分することで、物体にかかる力などを求めることもできる。
 可視化
 多くの場合、流れ場の把握などのために、解析結果の可視化を行なう。具体的には、物体表面および周辺流れの圧力分布を色（等圧線、コンター図）で表現したり、流線を曲線で表したり、渦度を等値面で表したりといった具合である。画像からアニメーションを作成することも多い。

 風洞実験との比較 
CFDの性能や効用について風洞実験と比較される場面がある。

数値シミュレーションは、風洞のような寸法成約や壁面の影響および外乱がなく、理想的な状況を設定できる。また、風洞装置の設置に比べ初期投資を抑えられ、さらに風洞内のセンサ類の設置と管理といった手間もいらずそれでいて多量のデータを取得できる。風洞と比較できるような計算にはスパコンの利用が不可欠であるが、それでも風洞の初期費用やランニングコストとは桁違いである。一方で、現在の計算機能力では流れを十分に再現できない場面があり、また計算手法の扱い次第では実現象と全く異なる結果が現れることも容易に起きる。CFDを利用する場合には風洞などの実験を併用することが望まれ、風洞実験に取って代わる存在には至っていない。

 特殊な数値流体力学 
流れの中では多くの物理過程が起こり得、それらが流れと相互作用を及ぼしあうことで多様な現象が現れる可能性がある。重要な応用分野ではこのような物理過程が起きており、CFDの適用が研究、応用されているFerziger, Perić, pp.365-399。

 乱流 大宮司久明, 三宅裕, & 吉澤徴. (1998). 乱流の数値流体力学. 東京大学出版会.梶島, & 岳夫. (2014). 乱流の数値シミュレーション. 養賢堂.
 工業分野で現れる流れの多くは乱流であり、乱流モデルを用いた特別な扱いが必要となる。
 希薄流体
 クヌーセン数が0.01以下の流れ場では、流体分子同士が頻繁に衝突しその運動が平均化されるため、流体は連続体とみなせ、流体力学を適用できる。一方、クヌーセン数が0.01以上の場合、流体分子の衝突が極端に減り、別個に運動するようになるため分子運動論的な取り扱いが必要となる。このような流体を希薄流体と呼ぶ。希薄流体では支配方程式として流体力学方程式が成り立たず、ボルツマン方程式が有効となる。この種の数値シミュレーションは半導体微細加工プロセスに用いられている。
 極超音速気流
 マッハ数が5を超えるような極超音速気流では、超高温の衝撃波によってプラズマが発生している。このような気体を実在気体と呼び、解析には前述の流体力学の方程式に加えて熱化学方程式による解析が必要とされる。この種のシミュレーションはロケットなどの設計に用いられている。
 アクティブスカラー
 温度や溶解している物質があっても、それらの変化が小さい場合はそれが流れに及ぼす影響を無視することが多い。この場合の温度や濃度などの物理量はパッシブスカラーと呼ばれ、流れ場を解いた後にこれらを解けばよいため、比較的問題は単純である。しかし、その変化が大きい場合は化学種濃度によって流体の密度や粘性が変化する場合があり、そのことによって流れが駆動される場合もありうる。この場合はアクティブスカラーと呼ばれ、流れ変数との連成問題を解く必要が生じる。
 非ニュートン流体Rajagopal, K. R. (1993). Mechanics of non-Newtonian fluids. Pitman Research Notes in Mathematics Series.Böhme, G. (2012). Non-Newtonian fluid mechanics. Elsevier.Crochet, M. J., & Walters, K. (1983). Numerical methods in non-Newtonian fluid mechanics. Annual Review of Fluid Mechanics, 15(1), 241-260.
 粘性応力とひずみ速度が単純な線形関係で表せないような非ニュートン流体を考慮しなければならない場合がある。さらに、粘弾性流体の場合は応力が連立非線形編微分方程式で記述される。
 界面
 流体中を固体物体が動く場合や、液面のように界面自体が流れ場を解いた結果として得られる場合（自由表面と呼ばれる）がある。VOF法（Volume of fluid）Hirt, C. W., & Nichols, B. D. (1981). Volume of fluid (VOF) method for the dynamics of free boundaries. Journal of computational physics, 39(1), 201-225.や埋め込み境界法Peskin, C. S. (2002). The immersed boundary method. Acta numerica, 11, 479-517.Roma, A. M., Peskin, C. S., & Berger, M. J. (1999). An adaptive version of the immersed boundary method. Journal of computational physics, 153(2), 509-534.Taira, K., & Colonius, T. (2007). The immersed boundary method: a projection approach. Journal of Computational Physics, 225(2), 2118-2137.などの手法がある。
 混相流Brennen, C. E., & Brennen, C. E. (2005). Fundamentals of multiphase flow. Cambridge University Press.Crowe, C. T. (2005). Multiphase flow handbook. CRC Press.
 空気中の粉塵や液滴の噴霧、液中の気泡、沸騰など、複数の相が混ざり合う混相流の場合がある。
 化学反応
 流れの中で化学反応が起こり、さらにその反応が大きなエネルギーを生む場合（燃焼、爆発など）がある。
 気象学小倉義光. (2016). 一般気象学補訂版. 東京大学出版会.廣田勇, & 赤道大気. (1992). グローバル気象学 (Vol. 141). 東京大学出版会.Ahrens, C. D. (2012). Meteorology today: an introduction to weather, climate, and the environment. Cengage Learning.、海洋学Thurman, H. V., & Burton, E. A. (1997). Introductory oceanography. New York: Prentice Hall.岡英太郎, 磯辺篤彦, 市川香, 升本順夫, 須賀利雄, 川合義美, ... & 早稲田卓爾. (2013). 海洋学の 10 年展望 (Ⅰ). 海の研究, 22(6), 191-218.神田穣太, 石井雅男, 小川浩史, 小埜恒夫, 小畑元, 川合美千代, ... & 渡邉豊. (2013). 海洋学の 10 年展望 (Ⅱ). 海の研究, 22(6), 219-251.
 大気や海洋を扱う場合は、きわめて高いレイノルズ数と非常に大きいアスペクト比、そして地球の回転による力が重要になる。数値予報も参照。
 プラズマ流、磁気流体力学Berkovski, B., & Bashtovoy, V. (1996). Magnetic fluids and applications handbook (Vol. 36). Begell House, New York.
 天文物理学などの分野では電磁気の効果が重要な役割を担いCarroll, B. W., & Ostlie, D. A. (2017). An introduction to modern astrophysics. Cambridge University Press.Zeldovich, I. B., Ruzmaikin, A. A., & Sokolov, D. D. (1983). Magnetic fields in astrophysics.、運動方程式をマクスウェル方程式と共に解く必要がある。プラズマのモデリングも参照。

 著名な数値流体力学ソフトウェア 

汎用CFDソフトウェアは多数存在しており、実務レベルから研究レベルまで様々な用途に使用されている。以下にいくつかのメーカー及びソフトウェアを示すGlobal FEA & CFD Simulation and Analysis Software Market Size, Status and Forecast 2025 HTF Market Intelligence Consulting 2018年2月。

 ANSYS
 Discovery AIM (マルチフィジックス)、Fluent、CFX、Discovery Live
 Dassault Systèmes (子会社のExa Corporationを含む)
 SIMULIA XFlow、SOLIDWORKS Flow SimulationMatsson, J. E. (2013). An Introduction to SolidWorks Flow Simulation 2013. SDC publications.Kurowski, P. (2019). Thermal Analysis with SOLIDWORKS Simulation 2019 and Flow Simulation 2019. SDC Publications.、PowerFlow
 シーメンス (子会社のSiemens PLM Software及びメンター・グラフィックスを含む)
 Simcenter 3DAnderl, R., & Binde, P. (2018). Simulations with NX/Simcenter 3D: Kinematics, FEA, CFD, EM and Data Management. Carl Hanser Verlag GmbH Co KG. (マルチフィジックス)、Simcenter STAR-CCM+、FloEFD
 Altair Engineering
 AcuSolve、ultraFluidX、nanoFluidX
  (子会社のソフトウェアクレイドルを含む)
 STREAM、SCRYU/Tetra
Cadence Design Systems（子会社のNUMECA Internationalを含む）
FINE/Turbo（OMNIS/Turbo）
FINE/Open（OMNIS/Open）
FINE/Marine
 Autodesk
 Autodesk CFD
 ESI Group
 、、ESI-PRESTO
 アドバンスソフト株式会社
 Advance/FrontFlow/red、FrontFlow/Blue
 株式会社環境シミュレーション
 WindPerfect、e-flow
プロメテック・ソフトウェア株式会社
Particleworks山井三亀夫, & 笠原巧. (2014). 粒子法 CAE ソフトウェア Particleworks. 鋳造工学, 86(12), 965-969.
その他
OpenFOAMJasak, H., Jemcov, A., & Tukovic, Z. (2007, September). OpenFOAM: A C++ library for complex physics simulations. In International workshop on coupled methods in numerical dynamics (Vol. 1000, pp. 1-20). IUC Dubrovnik Croatia.

 脚注 

 参考文献 
和書
 スハス V. パタンカー（S.V. Patankar）：「コンピュータによる熱移動と流れの数値解析」、森北出版、ISBN 978-4-627-91190-1 (1985年2月)．
 C.A.J.フレッチャー：「コンピュータ流体力学」、シュプリンガー・フェアラーク東京、ISBN 4-431-70650-X (1993年7月10日).
 荒川忠一：「数値流体工学」、東京大学出版会、ISBN 4-13-061153-4 (1994年1月10日).
 藤井孝藏：「流体力学の数値計算法」、東京大学出版会、ISBN 4-13-062802-X (1994年3月20日）．
 棚橋隆彦：「はじめてのCFD：移流拡散方程式」、コロナ社、ISBN 4-339-04326-5 (1996年10月15日).
 越塚誠一：「数値流体力学」、培風館、ISBN 978-4-563-03561-7 (1997年4月18日)．
 日本数値流体力学会有限要素法研究委員会(編)：「有限要素法による流れのシミュレーション」、シュプリンガー・フェアラーク東京、ISBN 978-4-431-70793-6 (1998年11月9日）．
  ※　原著 Computational Methods for Fluid Dynamics の第3版。
 桑原邦郎、河村哲也：「流体計算と差分法」、朝倉書店、ISBN 4-254-23105-9 (2005年2月25日).
 棚橋隆彦：「計算流体力学：GSMAC有限要素法」、共立出版、ISBN 4-320-07163-8 (2006年8月10日).
日本計算工学会流れの有限要素法研究委員会（編）：「続・有限要素法による流れのシミュレーション」、シュプリンガー・ジャパン、ISBN 978-4-431-10033-1 (2008年8月23日).
 柳瀬眞一朗、百武徹、河原源太、渡辺毅：「乱流のシミュレーション：LESによる数値計算と可視化」、森北出版、ISBN 978-4-627-67331-1 (2010年9月10日).
 H.K.Versteeg、W.Malalasekera:「数値流体力学[(原著)第2版]」、森北出版、ISBN 978-4-627-91972-3 (2011年5月30日).
 河村哲也：「流体解析の基礎」、朝倉書店、ISBN 978-4-254-13111-6 (2014年3月25日)．
 大宮司久明：「数値流体力学大全」（2015） ※ GNUフリー文書利用許諾契約書 (GFDL)に基き配布される。
 日本計算工学会(編)：「第3版　有限要素法による流れのシミュレーション：OpenMPに基づくFortranソースコード付」、丸善出版、ISBN 978-4-621-30183-8 (2017年7月30日).
 肖鋒、長崎孝夫：「数値流体解析の基礎：Visual C++とgnuplotによる圧縮性・非圧縮性流体解析」、コロナ社、ISBN 978-4-339-04664-9 (2020年1月23日).
 藤井孝蔵、立川智章：「Pythonで学ぶ　流体力学の数値計算法」、オーム社、ISBN 978-4-274-22470-6 (2020年10月15日).
 河野晴彦：「詳解　流れの数値計算：有限要素法による非圧縮性流体解析の基礎」、コロナ社、ISBN 978-4-339-04676-2 (2022年1月21日).
 河村哲也、佐々木桃：「Pythonによる流体解析」、朝倉書店、ISBN 978-4-254-12902-1 (2023年7月1日).
 Joel H. Ferziger、Milovan Perić、Robert L. Street、大島伸行(訳)、坪倉誠(訳)、小林敏雄(訳)：「流体力学の計算手法 原著4版」、丸善出版、ISBN 978-4-621-31078-6 (2025年2月4日).
 山本悟:「数値流体力学の基礎と応用」、森北出版、ISBN 978-4-627-69231-2 (2025年4月)｡
乱流
 梶島岳夫：「乱流の数値シミュレーション 改訂版」、養賢堂、ISBN 978-4-8425-0526-8（2017年1月27日）.　※ 1998年の初版の改訂版。
 大宮司久明、三宅裕、吉澤徴：「乱流の数値流体力学」、東京大学出版会、ISBN 978-4-13-066113-3（1998年1月27日）.
 金田行雄（編）：「乱流の計算科学：乱流解明のツールとしての大規模数値シミュレーション」、共立出版、ISBN 978-4-320-12270-3 (2012年7月30日).

洋書

 Anderson, John D. (1995): Computational Fluid Dynamics: The Basics With Applications. Science/Engineering/Math, McGraw-Hill Science, ISBN 978-0-07-001685-9.
 Joel H. Ferziger , Milovan Perić , Robert L. Street (2020): Computational Methods for Fluid Dynamics(4th Ed.), Springer, ISBN 978-3-319-99693-6.
 Patankar, Suhas (1980): Numerical Heat Transfer and Fluid Flow: Hemisphere Series on Computational Methods in Mechanics and Thermal Science, Taylor & Francis, ISBN 978-0-89116-522-4.
 Versteeg, H. K., & Malalasekera, W. (2007): An Introduction to Computational Fluid Dynamics: The Finite Volume Method, Pearson education.
 Hirsch, C. (2007): Numerical Computation of Internal and External Flows: The Fundamentals of Computational Fluid Dynamics, Elsevier.
 Chung, T. J. (2010): Computational Fluid Dynamics, Cambridge University Press.
 Karniadakis, G., & Sherwin, S. (2013): Spectral/hp Element Methods for Computational Fluid Dynamics, Oxford University Press.
 Blazek, J. (2015): Computational Fluid Dynamics: Principles and Applications, Butterworth-Heinemann.
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 Vivette Girault , Pierre-Arnaud Raviart: Finite Element Methods for Navier-Stokes Equations: Theory and Algorithms, Springer, ISBN 978-3-642-61623-5 (1986).
 Christine Bernardi,  Vivette Girault,  Frédéric Hecht, Pierre-Arnaud Raviart, and Beatrice Rivière (2024): Mathematics and Finite Element Discretizations of Incompressible Navier–Stokes Flows, SIAM, ISBN 978-1-61197-811-7.

 関連項目 

 数値風洞システム

*
Category:計算科学
Category:研究の計算分野
Category:数学に関する記事