三角関数の部分分数展開

数学において、三角関数は以下のように部分分数に展開される。

 証明 

 無限積を用いた証明 

より

両辺を微分し

これより

が得られる。また

より

が得られる。

 リウヴィルの定理を用いた証明 
初めに余接関数の部分分数展開について示す。
そのために、

として、恒等的にであることを確かめる。の極限において

であるからの極は除去され、であるから実軸上に並ぶ他の極も除去される。従って、はにおいて有界である。と書き

を仮定すれば

の置換により

となるから、はにおいて有界であるが、であるから複素平面全体においても有界である。従って、リウヴィルの定理によりである。

他の関数については

 円周率の公式 
余接関数の部分分数展開の両辺を微分して比較することにより

が導かれる。（→バーゼル問題）

 出典 

 注釈 

 関連項目 

Category:三角関数
Category:解析学
Category:数学に関する記事