与えられた数より小さい素数の個数について

『与えられた数より小さい素数の個数について』（あたえられたすうよりちいさいそすうのこすうについて訳は右記文献の平林幹人による。（鹿野(1991)、17–28頁）、ドイツ語の原題: , 英語での定訳: ）は、19世紀のドイツの数学者であるベルンハルト・リーマンが1859年に発表した論文である。同年の学術誌『ベルリン学士院月報』() 上に掲載された。解析学や幾何学の分野における業績が多かったリーマンが数論の分野で唯一発表した論文であり、わずか9ページしかなかったが、数々の画期的な内容を含み、後世に甚大な影響を及ぼした。特に解析的整数論においては、本論文は同分野の基本文献とされている。内容的には、この論文はあるべき大論文の要約版・研究速報と見なすことができたが、リーマン自身は7年後の1866年に39歳で没したため、本論文の詳細版が出版されることはついになかった。もし詳細版が出版されていれば、関連分野の研究は70年は短縮されただろうという指摘がある。

本論文には6個の予想が含まれていたが、リーマン没後、うち5つまでは後の数学者達によって証明が与えられた。最後に残されたのがリーマン予想であり、これは数論における最も重要な未解決問題の一つとされている。

この論文の影響はあまりに大きかったため、例えば複素数の表記方法として普通は （特に ）と書くところを、リーマンゼータ関数の非自明な零点を論じる場合に限っては、本論文にちなんで  と書く慣習がある と書く慣習はエトムント・ランダウ (1903年) から始まる。。また、「リーマンのゼータ関数」という名称も、元々オイラーが導入した関数であるにもかかわらず、本論文でリーマンが記号  を用いて記述したことから以後定着した。

 導入された新定義 
リーマンゼータ関数  の  を除く全複素平面への解析接続 
整関数  として

で定義する。ここに、 はガンマ関数である。現代においてよく用いられる  とは異なることに注意。
離散関数 原論文では  と表されている。 で定義され、 かつ  は素数の冪  毎に  ずつ飛び飛びの値をとる。

 記載された証明又は証明のあらまし 
 の関数等式についての二通りの証明
 の積表示 の積表示とは、次の等式のこと。

ここに  は  の零点で、実部が正であるものをわたる。の証明のあらまし（1896年にアダマールが完全に証明）
 の零点のうち虚部が  と  の間であるものの近似的な個数についての証明のあらまし（1905年にが完全に証明）
リーマンの素数公式の証明のあらまし（1895年にフォン・マンゴルトが完全に証明）

 提起された予想 
リーマン予想：「 の全ての零点は実数である」。 を  の零点として、 の負の偶数を除く零点は  と書けるので、これは次のよく知られた形に言い換えられる。「 の非自明な零点の実部は  に等しい」

 導入された新たな技法等 
解析接続（ただしワイエルシュトラス流のものとは異なる）
線積分 (contour integration)
フーリエ逆変換

リーマンはまた関数  を本質的にスティルチェス積分の尺度として用い、 と素数分布との関連を論じた。そして  との比較を通じて、論文の主結果として  を定式化した。リーマンは更に進んで、一部に困難が残ることを認めつつ、素数の数を与える関数  の近似公式の導出を試みた。素数分布をある程度正確に記述する素数定理は、後の1896年にとアダマールによって独立に示された。もしリーマン予想が証明されれば、さらに精密な素数分布が導かれることが知られている。

 日本語訳 
 杉浦光夫訳「与えられた限界以下の素数の個数について」（リーマン(2004)、155–162頁）
 鈴木治郎訳「与えられた数より小さな素数の個数について」（エドワーズ(2012)、314–321頁）
 平林幹人訳「与えられた数より小さい素数の個数について」（鹿野(1991)、17–28頁）

 注釈 

出典

 参考文献 

 関連項目 
ゼータ関数
素数定理
ベルンハルト・リーマン
リーマン予想

 外部リンク 

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