ヤコビの虚数変換式

ヤコビの虚数変換式(Jacobi's imaginary transformation)は、楕円テータ関数に関する以下のような恒等式である梅村浩著「楕円関数論」東京大学出版会、2000年、ISBN 978-4130613033、pp.154-156, 357-358.。

この恒等式の日本語の呼称は定まっておらず、ヤコビの虚数変換式、ヤコビのモジュラー変換式、あるいは単にヤコビ変換式とも呼ばれる。テータ関数は二変数の関数であるが、第二変数を純虚数の定数として第一変数に着目すれば「虚数変換式」という呼称が的を射て、第一変数を定数として第二変数に着目すれば「モジュラー変換式」という呼称が的を射る。

公式に関する注意点

の定義は一意ではなく、いくつかの流儀があり文献によって異なるので注意が必要である梅村著「楕円関数論」p.118.(主として、の定義の違いが混乱を生んでいる)。この記事での定義は、D.Mumfordに従ったD.Mumford, Tata lectures on theta I and II, Birkhauser, Boston, 1983, ISBN 978-0817645724, ISBN 978-0817645694.次のようなものである森口繁一・宇田川銈久・一松信共著「岩波数学公式集Ⅲ」(新装版)1986年、ISBN 978-4000055093、p.46.。

「岩波数学公式集Ⅲ」p.48.では誤った式が書かれているので注意せよ。

 楕円関数の虚数変換 
ヤコビの楕円関数はテータ関数の比により表される。楕円関数の周期をとすると

テータ関数の虚数変換式により

となり、楕円関数の虚数変数を得る。

 証明 
の虚数変換式の両辺の比をして恒等的にであることを証明する。テータ関数の二重周期性により

であるから、はの関数として二重周期を持つ。また、テータ関数は極を持たず、零点は

であるから、はの関数として複素平面全体で有界である。したがって、リウヴィルの定理によりには依存しない。

分子のが奇数の項は正負で打ち消しあうから偶数のをに改める。

先に示したようにはに依存しないので

であり、はにも依存しない定数である。その値は

である。

出典

やこひのきよすうへんかんしき